Dallimi midis Bernoulli dhe Binomial

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 13:50

Bernoulli vs Binomi

Shumë shpesh në jetën reale, hasim ngjarje, të cilat kanë vetëm dy rezultate që kanë rëndësi. Për shembull, ose kalojmë një intervistë pune me të cilën jemi përballur ose dështojmë në atë intervistë, ose fluturimi ynë niset në kohë ose është me vonesë. Në të gjitha këto situata, ne mund të zbatojmë konceptin e probabilitetit "Sprovat e Bernoulli".

Bernoulli

Një eksperiment i rastësishëm me vetëm dy rezultate të mundshme me probabilitet p dhe q; ku p+q=1, quhet gjykimet e Bernulit për nder të James Bernoulli (1654-1705). Më së shpeshti dy rezultatet e eksperimentit thuhet se janë "Sukses" ose "Dështim".

Për shembull, nëse marrim parasysh hedhjen e një monedhe, ka dy rezultate të mundshme, që thuhet se janë 'kokë' ose 'bisht'. Nëse na intereson koka të bjerë; probabiliteti i suksesit është 1/2, i cili mund të shënohet si P (sukses)=1/2, dhe probabiliteti i dështimit është 1/2. Në mënyrë të ngjashme, kur hedhim dy zare, nëse na intereson vetëm që shuma e dy zarave të jetë 8, P (Sukses)=5/36 dhe P (dështim)=1- 5/36=31/36.

Një proces Bernoulli është një dukuri e një sekuence provash Bernoulli në mënyrë të pavarur; prandaj, probabiliteti i suksesit mbetet i njëjtë për çdo provë. Për më tepër, për çdo provë probabiliteti i dështimit është 1-P (sukses).

Meqenëse gjurmët individuale janë të pavarura, probabiliteti i një ngjarjeje në një proces Bernoulli mund të llogaritet duke marrë produktin e probabiliteteve të suksesit dhe dështimit. Për shembull, nëse probabiliteti i suksesit [P(S)] shënohet me p dhe probabiliteti i dështimit [P (F)] shënohet me q; atëherë P(SSSF)=p³q dhe P(FFSS)=p²q²

Binomi

Sprovat e Bernoulli çojnë në shpërndarje binomiale. Në shumicën e rasteve, njerëzit ngatërrohen me dy termat "Bernoulli" dhe "Binomial". Shpërndarja binomiale është një shumë e provave të Bernoulli-t të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë të barabartë. Shpërndarja binomiale shënohet me shënimin b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, ku C(n, k) njihet si koeficienti binomial. Koeficienti binomial C(n, k) mund të llogaritet duke përdorur formulën n!/k!(n-k)!.}

Për shembull, nëse një llotari e menjëhershme me 25% bileta fituese shitet mes 10 personave, probabiliteti për të blerë një biletë fituese është b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0,75)^{9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169}

Cili është ndryshimi midis Bernoulli dhe Binomial?

• Sprova e Bernoulli është një eksperiment i rastësishëm me vetëm dy rezultate të mundshme.
• Eksperimenti binomial është një sekuencë provash Bernoulli të kryera në mënyrë të pavarur.