Power Series vs Taylor Series
Në matematikë, një sekuencë reale është një listë e renditur e numrave realë. Formalisht, është një funksion nga bashkësia e numrave natyrorë në bashkësinë e numrave realë. Nëse një n është termi ntë i një sekuence, ne e shënojmë sekuencën me ose me një 1, një 2, …, an, …. Për shembull, merrni parasysh sekuencën 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Mund të shënohet si {1/n}.
Është e mundur të përcaktohet një seri duke përdorur sekuenca. Një seri është shuma e termave të një sekuence. Prandaj, për çdo sekuencë, ekziston një sekuencë e lidhur dhe anasjelltas. Nëse {an} është sekuenca në shqyrtim, atëherë seria e formuar nga ajo sekuencë mund të përfaqësohet si:
Kështu, në shembullin e mësipërm, seria e lidhur është 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Siç sugjerojnë emrat, seria e fuqisë është një lloj i veçantë serie dhe përdoret gjerësisht në Analizën Numerike dhe modelimin matematikor përkatës. Seria Taylor është një seri e veçantë fuqie që ofron një mënyrë alternative dhe të lehtë për t'u manipuluar për të përfaqësuar funksione të njohura.
Çfarë është seria Power?
Një seri fuqie është një seri e formës
i cili është konvergjent (ndoshta) për disa intervale të përqendruara në c. Koeficientët anmund të jenë numra realë ose kompleksë dhe janë të pavarur nga x; d.m.th. ndryshorja e rreme.
Për shembull, duke vendosur njën=1 për çdo n, dhe c=0, seria e fuqisë 1+x+x2 +…..+ x+… është marrë. Është e lehtë të vërehet se kur x ε (-1, 1), kjo seri fuqie konvergon në 1/(1-x).
Një seri fuqie konvergjon kur x=c. Vlerat e tjera të x për të cilat seria e fuqisë konvergon gjithmonë do të marrin formën e një intervali të hapur me qendër në c. Kjo do të thotë, do të ketë një vlerë 0≤ R ≤ ∞ e tillë që për çdo x të kënaqshme |x-c|≤ R, seria e fuqisë është konvergjente dhe për çdo x të kënaqshme |x-c|> R, seria e fuqisë është divergjente. Kjo vlerë R quhet rrezja e konvergjencës së serisë së fuqisë (R mund të marrë çdo vlerë reale ose pafundësi pozitive).
Seria e fuqisë mund të shtohet, zbritet, shumëzohet dhe ndahet duke përdorur rregullat e mëposhtme. Merrni parasysh dy seritë e fuqisë:
Pastaj,
d.m.th. si termat shtohen ose zbriten së bashku. Gjithashtu, është e mundur të shumëzohen dhe të ndahen dy seritë e fuqisë duke përdorur identitetin,
Çfarë është seria Taylor?
Seria Taylor është përcaktuar për një funksion f (x) që është pafundësisht i diferencueshëm në një interval. Supozojmë se f (x) është i diferencueshëm në një interval të përqendruar në c. Pastaj seria e fuqisë e cila jepet me
quhet zgjerimi i serisë Taylor i funksionit f (x) rreth c. (Këtu f(n) (c) shënoni derivatin ntënë x=c). Në Analizën Numerike, një numër i kufizuar termash në këtë zgjerim të pafund përdoren në llogaritjen e vlerave në pikat ku seria është konvergjente me funksionin origjinal.
Një funksion f (x) thuhet se është analitik në intervalin (a, b), nëse për çdo x ε (a, b), seria Taylor e f (x) konvergjon në funksionin f (x). Për shembull, 1/(1-x) është analitike në (-1, 1), pasi zgjerimi i saj Taylor 1+x+x2+….+ x +… konvergjon me funksionin në atë interval, dhe ex është analitike kudo, pasi seria Taylor ex konvergjon në e x për çdo numër real x.
Cili është ndryshimi midis serive Power dhe serisë Taylor?
1. Seria Taylor është një klasë e veçantë e serive të fuqisë e përcaktuar vetëm për funksione që janë pafundësisht të diferencueshme në një interval të hapur.
2. Seritë Taylor marrin formën speciale
ndërsa, një seri fuqie mund të jetë çdo seri e formës
