Ortogonal vs Ortonormal
Në matematikë, dy fjalët ortogonale dhe ortonormale përdoren shpesh së bashku me një grup vektorësh. Këtu, termi "vektor" përdoret në kuptimin që është një element i një hapësire vektoriale - një strukturë algjebrike e përdorur në algjebër lineare. Për diskutimin tonë, ne do të shqyrtojmë një hapësirë të produktit të brendshëm - një hapësirë vektoriale V së bashku me një produkt të brendshëm të përcaktuar në V.
Si shembull, për një produkt të brendshëm, hapësira është grupi i të gjithë vektorëve të pozicionit 3-dimensional së bashku me produktin e zakonshëm me pika.
Çfarë është ortogonal?
Një nëngrup jo bosh S i një hapësire të brendshme produkti V thuhet se është ortogonale, nëse dhe vetëm nëse për çdo u, v të veçantë në S, [u, v]=0; dmth prodhimi i brendshëm i u dhe v është i barabartë me skalarin zero në hapësirën e prodhimit të brendshëm.
Për shembull, në bashkësinë e të gjithë vektorëve të pozicionit 3-dimensional, kjo është e barabartë me të thënë se, për çdo çift të veçantë të vektorëve të pozicionit p dhe q në S, p dhe q janë pingul me njëri-tjetrin. (Mos harroni se prodhimi i brendshëm në këtë hapësirë vektoriale është prodhimi me pika. Gjithashtu, produkti me pika i dy vektorëve është i barabartë me 0 nëse dhe vetëm nëse të dy vektorët janë pingul me njëri-tjetrin.)
Merrni parasysh bashkësinë S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, e cila është një nëngrup i vektorëve të pozicionit 3-dimensional. Vini re se (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Prandaj, bashkësia S është ortogonale. Në veçanti, dy vektorë thuhet se janë ortogonalë nëse prodhimi i tyre i brendshëm është 0. Prandaj, çdo çift vektorësh në Sis ortogonal.
Çfarë është ortonormal?
Një nëngrup jo bosh S i hapësirës së prodhimit të brendshëm V thuhet se është ortonormale nëse dhe vetëm nëse S është ortogonal dhe për çdo vektor u në S, [u, u]=1. Prandaj, mund të shihet se çdo grup ortonormal është ortogonal, por jo anasjelltas.
Për shembull, në grupin e të gjithë vektorëve të pozicionit 3-dimensional, kjo është e barabartë me të thënë se, për çdo çift të veçantë të vektorëve të pozicionit p dhe q në S, p dhe q janë pingul me njëri-tjetrin, dhe për çdo p në S, |p|=1. Kjo ndodh sepse kushti [p, p]=1 zvogëlohet në p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, që është ekuivalente me |p |=1. Prandaj, duke pasur parasysh një bashkësi ortogonale, ne gjithmonë mund të formojmë një bashkësi ortonormale përkatëse duke e ndarë çdo vektor me madhësinë e tij.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} është një nëngrup ortonormal i grupit të të gjithë vektorëve të pozicionit 3-dimensional. Është e lehtë të shihet se ai është marrë duke pjesëtuar secilin prej vektorëve në bashkësinë S, me madhësitë e tyre.
Cili është ndryshimi midis ortogonal dhe ortonormal?
- Një nëngrup jo bosh S i një hapësire të brendshme produkti V thuhet se është ortogonale, nëse dhe vetëm nëse për çdo u, v në S, [u, v]=0. Megjithatë, është ortonormale, nëse dhe vetëm nëse plotësohet një kusht shtesë – për çdo vektor u në S, [u, u]=1.
- Çdo grup ortonormal është ortogonal, por jo anasjelltas.
- Çdo grup ortogonal korrespondon me një grup unik ortonormal, por një grup ortonormal mund të korrespondojë me shumë grupe ortogonale.
