Dallimi midis derivatit dhe integralit

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 13:50

Derivat vs Integral

Diferencimi dhe integrimi janë dy operacione themelore në Kalkulus. Ato kanë aplikime të shumta në disa fusha, si Matematikë, Inxhinieri dhe Fizikë. Si derivati ashtu edhe ai integral diskutojnë sjelljen e një funksioni ose sjelljen e një entiteti fizik për të cilin ne jemi të interesuar.

Çfarë është derivati?

Supozojmë se y=ƒ(x) dhe x₀ është në domenin e ƒ. Pastaj lim_Δx→∞Δy/Δx=lim_Δx→∞[ƒ(x 0_{+Δx) − ƒ(x}0_{)]/Δx quhet shpejtësia e menjëhershme e ndryshimit të ƒ në x}0_{, me kusht që ky kufi të ekzistojë përfundimisht. Ky kufi quhet gjithashtu derivat i at dhe shënohet me ƒ(x).}

Vlera e derivatit të një funksioni f në një pikë arbitrare x në domenin e funksionit jepet nga lim_{Δx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Kjo shënohet me cilëndo nga shprehjet e mëposhtme: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, D}x_y.

Për funksionet me disa variabla, ne përcaktojmë derivatin e pjesshëm. Derivati i pjesshëm i një funksioni me disa ndryshore është derivati i tij në lidhje me njërën prej atyre variablave, duke supozuar se variablat e tjerë janë konstante. Simboli i derivatit të pjesshëm është ∂.

Gjeometrikisht derivati i një funksioni mund të interpretohet si pjerrësia e lakores së funksionit ƒ(x).

Çfarë është integrale?

Integrimi ose anti-diferencimi është procesi i kundërt i diferencimit. Me fjalë të tjera, është procesi i gjetjes së një funksioni origjinal kur jepet derivati i funksionit. Prandaj, një integral ose një anti-derivativ i një funksioni ƒ(x) nëse, ƒ(x)=F (x) mund të përkufizohet si funksioni F (x), për të gjitha x në domenin e ƒ(x).

Shprehja ∫ƒ(x) dx tregon derivatin e funksionit ƒ(x). Nëse ƒ(x)=F (x), atëherë ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, ku C është një konstante, ∫ƒ(x) dx quhet integrali i pacaktuar i ƒ(x).

Për çdo funksion ƒ, i cili nuk është domosdoshmërisht jo negativ, dhe i përcaktuar në intervalin [a, b], _a∫^{b ƒ(x) dx quhet integrali i caktuar ƒ në [a, b].}

Integrali i caktuar _a∫^{bƒ(x) dx i një funksioni ƒ(x) mund të interpretohet gjeometrikisht si zona e rajoni i kufizuar nga kurba ƒ(x), boshti x dhe drejtëzat x=a dhe x=b.}

Cili është ndryshimi midis Derivatit dhe Integralit?

• Derivati është rezultat i diferencimit të procesit, ndërsa integrali është rezultat i integrimit të procesit.

• Derivati i një funksioni përfaqëson pjerrësinë e kurbës në çdo pikë të caktuar, ndërsa integrali përfaqëson zonën nën kurbë.