Diferencimi kundrejt derivatit
Në llogaritjen diferenciale, derivati dhe diferencimi janë të lidhura ngushtë, por shumë të ndryshëm, dhe përdoren për të përfaqësuar dy koncepte të rëndësishme matematikore që lidhen me funksionet.
Çfarë është derivati?
Derivati i një funksioni mat shpejtësinë me të cilën vlera e funksionit ndryshon ndërsa hyrja e tij ndryshon. Në funksionet me shumë ndryshore, ndryshimi i vlerës së funksionit varet nga drejtimi i ndryshimit të vlerave të ndryshoreve të pavarura. Prandaj, në raste të tilla, zgjidhet një drejtim specifik dhe funksioni diferencohet në atë drejtim të caktuar. Ai derivat quhet derivat i drejtimit. Derivatet e pjesshme janë një lloj i veçantë i derivateve të drejtuar.
Derivati i një funksioni me vlerë vektoriale f mund të përkufizohet si kufi [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \në 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] kudo që ekziston në fund të fundit. Siç u përmend më parë, kjo na jep shkallën e rritjes së funksionit f përgjatë drejtimit të vektorit u. Në rastin e një funksioni me një vlerë të vetme, kjo zvogëlohet në përkufizimin e njohur të derivatit, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ në 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Për shembull, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] është kudo i diferencueshëm, dhe derivati është i barabartë me kufirin, [latex]\\lim_{h \\ deri në 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], që është e barabartë me [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivatet e funksioneve të tilla si [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] ekzistojnë kudo. Ato janë përkatësisht të barabarta me funksionet [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Ky njihet si derivati i parë. Zakonisht derivati i parë i funksionit f shënohet me f (1) Tani duke përdorur këtë shënim, është e mundur të përcaktohen derivatet e rendit më të lartë. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ deri në 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] është derivat i drejtimit të rendit të dytë, dhe që tregon derivatin n -të me f (n) për çdo n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ deri në 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], përcakton derivatin n th.
Çfarë është diferencimi?
Diferencimi është procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni të diferencueshëm. Operatori D i shënuar me D përfaqëson diferencimin në disa kontekste. Nëse x është ndryshorja e pavarur, atëherë D ≡ d/dx. Operatori D është një operator linear, d.m.th. për çdo dy funksion të diferencueshëm f dhe g dhe konstante c, veçoritë e mëposhtme janë të vlefshme.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Duke përdorur operatorin D, rregullat e tjera që lidhen me diferencimin mund të shprehen si më poshtë. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 dhe D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Për shembull, kur F(x)=x 2sin x diferencohet në lidhje me x duke përdorur rregullat e dhëna, përgjigja do të jetë 2 x sin x + x2cos x.
Cili është ndryshimi midis diferencimit dhe derivatit?• Derivati i referohet një norme ndryshimi të një funksioni • Diferencimi është procesi i gjetjes së derivatit të një funksioni. |
