Derivativ vs Diferencial
Në llogaritjen diferenciale, derivati dhe diferenciali i një funksioni janë të lidhura ngushtë, por kanë kuptime shumë të ndryshme dhe përdoren për të përfaqësuar dy objekte të rëndësishme matematikore që lidhen me funksionet e diferencueshme.
Çfarë është derivati?
Derivati i një funksioni mat shpejtësinë me të cilën vlera e funksionit ndryshon ndërsa hyrja e tij ndryshon. Në funksionet me shumë ndryshore, ndryshimi i vlerës së funksionit varet nga drejtimi i ndryshimit të vlerave të ndryshoreve të pavarura. Prandaj, në raste të tilla, zgjidhet një drejtim specifik dhe funksioni diferencohet në atë drejtim të caktuar. Ai derivat quhet derivat i drejtimit. Derivatet e pjesshme janë një lloj i veçantë i derivateve të drejtuar.
Derivati i një funksioni me vlerë vektoriale f mund të përkufizohet si kufi [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \në 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] kudo që ekziston në fund të fundit. Siç u përmend më parë, kjo na jep shkallën e rritjes së funksionit f përgjatë drejtimit të vektorit u. Në rastin e një funksioni me një vlerë të vetme, kjo zvogëlohet në përkufizimin e njohur të derivatit, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ në 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Për shembull, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] është kudo i diferencueshëm, dhe derivati është i barabartë me kufirin, [latex]\\lim_{h \\ deri në 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], që është e barabartë me [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivatet e funksioneve të tilla si [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] ekzistojnë kudo. Ato janë përkatësisht të barabarta me funksionet [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Ky njihet si derivati i parë. Zakonisht derivati i parë i funksionit f shënohet me f (1) Tani duke përdorur këtë shënim, është e mundur të përcaktohen derivatet e rendit më të lartë. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ deri në 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] është derivat i drejtimit të rendit të dytë, dhe që tregon derivatin n -të me f (n) për çdo n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ deri në 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], përcakton derivatin n th.
Çfarë është diferenciali?
Diferenciali i një funksioni paraqet ndryshimin në funksion në lidhje me ndryshimet në ndryshoren ose variablat e pavarur. Në shënimin e zakonshëm, për një funksion të caktuar f të një ndryshoreje të vetme x, diferenciali total i rendit 1 df jepet me, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Kjo do të thotë që për një ndryshim infinitimal në x (d.m.th. d x), do të ketë një ndryshim f (1)(x)d x në f.
Përdorimi i kufijve mund të përfundojë me këtë përkufizim si më poshtë. Supozoni se ∆ x është ndryshimi në x në një pikë arbitrare x dhe ∆ f është ndryshimi përkatës në funksionin f. Mund të tregohet se ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, ku ϵ është gabimi. Tani, kufiri ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (duke përdorur përkufizimin e dhënë më parë të derivatit) dhe kështu, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Prandaj, është e mundur të konkludojmë se, ∆ x→ 0 ϵ=0. Tani, duke shënuar ∆ x→ 0 ∆ f si d f dhe ∆ x→ 0 ∆ x si d x përftohet me rigorozitet përkufizimi i diferencialit.
Për shembull, diferenciali i funksionit [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] është [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
Në rastin e funksioneve të dy ose më shumë ndryshoreve, diferenciali total i një funksioni përcaktohet si shuma e diferencialeve në drejtimet e secilës prej variablave të pavarur. Matematikisht, mund të deklarohet si [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Cili është ndryshimi midis derivatit dhe diferencialit?
• Derivati i referohet një norme ndryshimi të një funksioni ndërsa diferenciali i referohet ndryshimit aktual të funksionit, kur ndryshorja e pavarur i nënshtrohet ndryshimit.
• Derivati jepet nga [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], por diferenciali jepet nga [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
