Dallimi midis integralit Riemann dhe integralit Lebesgue

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 13:50

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrimi është një temë kryesore në llogaritjen. Në një kuptim më të gjerë, integrimi mund të shihet si procesi i kundërt i diferencimit. Kur modeloni probleme të botës reale, është e lehtë të shkruani shprehje që përfshijnë derivate. Në një situatë të tillë, operacioni i integrimit kërkohet për të gjetur funksionin, i cili dha derivatin e veçantë.

Nga një kënd tjetër, integrimi është një proces, i cili përmbledh produktin e një funksioni ƒ(x) dhe δx, ku δx priret të jetë një kufi i caktuar. Kjo është arsyeja pse, ne përdorim simbolin e integrimit si ∫. Simboli ∫ është në fakt, ajo që marrim duke shtrirë shkronjën s për t'iu referuar shumës.

Riemann Integral

Konsideroni një funksion y=ƒ(x). Integrali i y midis a dhe b, ku a dhe b i përkasin një bashkësie x, shkruhet si _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Ky quhet një integral i caktuar i funksionit të vetëm me vlerë dhe të vazhdueshëm y=ƒ(x) ndërmjet a dhe b. Kjo jep zonën nën kurbë midis a dhe b. Ky quhet gjithashtu integrali i Riemann-it. Integrali i Riemann u krijua nga Bernhard Riemann. Integrali i Rimanit i një funksioni të vazhdueshëm bazohet në masën Jordan, prandaj ai përcaktohet gjithashtu si kufiri i shumave të Rimanit të funksionit. Për një funksion me vlerë reale të përcaktuar në një interval të mbyllur, integrali Riemann i funksionit në lidhje me një ndarje x₁, x₂, …, x n _{e përcaktuar në intervalin [a, b] dhe t}1_{, t}2_{, …, t n}, ku x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 për secila i ε {1, 2, …, n}, shuma e Riemann përcaktohet si Σ_{i=o deri në n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue është një lloj tjetër integrali, i cili mbulon një shumëllojshmëri të gjerë rastesh sesa integrali Riemann. Integrali lebesgue u prezantua nga Henri Lebesgue në 1902. Integrimi Legesgue mund të konsiderohet si një përgjithësim i integrimit të Riemann-it.

Pse duhet të studiojmë një integral tjetër?

Le të shqyrtojmë funksionin karakteristik ƒ_{A (x)=}{_{0 nëse, x jo ε A}^{1 nëse, x ε A}në një grup A. Pastaj kombinimi i fundëm linear i funksioneve karakteristike, i cili përcaktohet si F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) quhet funksion i thjeshtë nëse E} i _{është i matshëm për çdo i. Integrali Lebesgue i F (x) mbi E shënohet me} E_{∫ ƒ(x)dx. Funksioni F (x) nuk është i integrueshëm nga Riemann. Prandaj integrali Lebesgue është rifraza integrali i Riemann, i cili ka disa kufizime në funksionet që duhen integruar.}

Cili është ndryshimi midis Riemann Integral dhe Lebesgue Integral?

· Integrali Lebesgue është një formë përgjithësimi e integralit të Riemann.

· Integrali Lebesgue lejon një pafundësi të numërueshme ndërprerjesh, ndërsa integrali i Riemannit lejon një numër të kufizuar ndërprerjesh.