Ngjarjet e varura kundrejt ngjarjeve të pavarura
Në jetën tonë të përditshme, ne hasim në ngjarje me pasiguri. Për shembull, një shans për të fituar një llotari që blini ose një shans për të marrë punën që keni aplikuar. Teoria themelore e probabilitetit përdoret për të përcaktuar matematikisht mundësinë për të ndodhur diçka. Probabiliteti shoqërohet gjithmonë me eksperimente të rastësishme. Një eksperiment me disa rezultate të mundshme thuhet se është një eksperiment i rastësishëm, nëse rezultati në çdo provë të vetme nuk mund të parashikohet paraprakisht. Ngjarjet e varura dhe të pavarura janë terma të përdorur në teorinë e probabilitetit.
Një ngjarje B quhet e pavarur nga një ngjarje A, nëse probabiliteti që B të ndodhë nuk ndikohet nga fakti nëse A ka ndodhur apo jo. Thjesht, dy ngjarje janë të pavarura nëse rezultati i njërës nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes tjetër. Me fjalë të tjera, B është i pavarur nga A, nëse P(B)=P(B|A). Në mënyrë të ngjashme, A është e pavarur nga B, nëse P(A)=P(A|B). Këtu, P(A|B) tregon probabilitetin e kushtëzuar A, duke supozuar se B ka ndodhur. Nëse marrim parasysh hedhjen e dy zareve, një numër që shfaqet në njërën zarare nuk ka ndikim në atë që ka dalë në zarrin tjetër.
Për çdo dy ngjarje A dhe B në një hapësirë mostre S; probabiliteti i kushtëzuar i A, duke pasur parasysh që B ka ndodhur është P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Kështu që, nëse ngjarja A është e pavarur nga ngjarja B, atëherë P(A)=P(A|B) nënkupton që P(A∩B)=P(A) x P(B). Në mënyrë të ngjashme, nëse P(B)=P(B|A), atëherë vlen P(A∩B)=P(A) x P(B). Prandaj, mund të konkludojmë se dy ngjarjet A dhe B janë të pavarura, nëse dhe vetëm nëse, vlen kushti P(A∩B)=P(A) x P(B).
Le të supozojmë se mbështjellim një kësulë dhe hedhim një monedhë në të njëjtën kohë. Atëherë grupi i të gjitha rezultateve të mundshme ose hapësira e mostrës është S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T) }. Le të jetë ngjarja A ngjarja e marrjes së kokave, atëherë probabiliteti i ngjarjes A, P(A) është 6/12 ose 1/2, dhe le të jetë B ngjarja e marrjes së një shumëfishi të treshit në ditar. Atëherë P(B)=4/12=1/3. Asnjë nga këto dy ngjarje nuk ka asnjë ndikim në ndodhjen e ngjarjes tjetër. Prandaj, këto dy ngjarje janë të pavarura. Meqenëse grupi (A∩B)={(3, H), (6, H)}, probabiliteti që një ngjarje të marrë kokat dhe shumëfishin e tre në die, që është P(A∩B) është 2/12 ose 1/6. Shumëzimi, P (A) x P (B) është gjithashtu i barabartë me 1/6. Meqenëse, dy ngjarjet A dhe B mbajnë kushtin, mund të themi se A dhe B janë ngjarje të pavarura.
Nëse rezultati i një ngjarje ndikohet nga rezultati i ngjarjes tjetër, atëherë ngjarja thuhet se është e varur.
Supozojmë se kemi një qese që përmban 3 topa të kuq, 2 topa të bardhë dhe 2 topa të gjelbër. Probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë rastësisht është 2/7. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të gjelbër? A është 2/7?
Nëse do të kishim tërhequr topin e dytë pas zëvendësimit të topit të parë, kjo probabilitet do të ishte 2/7. Sidoqoftë, nëse topin e parë që kemi nxjerrë nuk e zëvendësojmë, atëherë në thes kemi vetëm gjashtë topa, kështu që probabiliteti për të nxjerrë një top të gjelbër tani është 2/6 ose 1/3. Prandaj, ngjarja e dytë është e varur, pasi ngjarja e parë ka një efekt në ngjarjen e dytë.
Cili është ndryshimi midis ngjarjes së varur dhe ngjarjes së pavarur?
