Ngjarje ekskluzive reciproke kundër ngjarjeve të pavarura
Njerëzit shpesh ngatërrojnë konceptin e ngjarjeve ekskluzive reciproke me ngjarje të pavarura. Në fakt, këto janë dy gjëra të ndryshme.
Le të jenë A dhe B çdo dy ngjarje që lidhen me një eksperiment të rastësishëm E. P(A) quhet "Probabiliteti i A". Në mënyrë të ngjashme, ne mund të përkufizojmë probabilitetin e B si P(B), probabilitetin e A ose B si P(A∪B), dhe probabilitetin e A dhe B si P(A∩B). Pastaj, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Megjithatë, dy ngjarje që thuhet se janë reciprokisht ekskluzive nëse ndodhja e njërës ngjarje nuk ndikon në tjetrën. Me fjalë të tjera, ato nuk mund të ndodhin njëkohësisht. Prandaj, nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht ekskluzive, atëherë A∩B=∅ dhe kështu, kjo nënkupton P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Le të jenë A dhe B dy ngjarje në një hapësirë mostre S. Probabiliteti i kushtëzuar i A, duke qenë se B ka ndodhur, shënohet me P(A | B) dhe përkufizohet si; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), me kusht P(B)>0. (përndryshe, nuk është e përcaktuar.)
Një ngjarje A quhet e pavarur nga një ngjarje B, nëse probabiliteti që A të ndodhë nuk ndikohet nga fakti nëse B ka ndodhur apo jo. Me fjalë të tjera, rezultati i ngjarjes B nuk ka asnjë efekt në rezultatin e ngjarjes A. Prandaj, P(A | B)=P(A). Në mënyrë të ngjashme, B është e pavarur nga A nëse P(B)=P(B | A). Prandaj, mund të konkludojmë se nëse A dhe B janë ngjarje të pavarura, atëherë P(A∩B)=P(A). P(B)
Supozojmë se një kub me numër është rrotulluar dhe një monedhë e drejtë është kthyer. Le të jetë A ngjarja që fiton një kokë dhe B është ngjarja që rrotullimi i një numri çift. Atëherë mund të konkludojmë se ngjarjet A dhe B janë të pavarura, sepse ai rezultat i njërës nuk ndikon në rezultatin e tjetrit. Prandaj, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Meqenëse P(A∩B)≠0, A dhe B nuk mund të përjashtojnë njëra-tjetrën.
Supozoni se një urnë përmban 7 mermerë të bardhë dhe 8 mermerë të zinj. Përcaktoni ngjarjen A si vizatim i një mermeri të bardhë dhe ngjarjen B si vizatim i një mermeri të zi. Duke supozuar se çdo mermer do të zëvendësohet pas shënimit të ngjyrës së tij, atëherë P(A) dhe P(B) do të jenë gjithmonë të njëjta, pavarësisht sa herë nxjerrim nga urna. Zëvendësimi i mermereve do të thotë që probabilitetet nuk ndryshojnë nga barazimi në vizatim, pavarësisht se çfarë ngjyre kemi zgjedhur në shortin e fundit. Prandaj, ngjarja A dhe B janë të pavarura.
Megjithatë, nëse mermeret janë tërhequr pa zëvendësim, atëherë gjithçka ndryshon. Sipas këtij supozimi, ngjarjet A dhe B janë nuk janë të pavarura. Vizatimi i një mermeri të bardhë herën e parë ndryshon probabilitetin për të vizatuar një mermer të zi në vizatimin e dytë e kështu me radhë. Me fjalë të tjera, çdo barazim ka një efekt në shortin e ardhshëm, dhe kështu barazimet individuale nuk janë të pavarura.
Dallimi midis ngjarjeve reciproke ekskluzive dhe të pavarura
– Ekskluziviteti i ndërsjellë i ngjarjeve do të thotë se nuk ka mbivendosje midis grupeve A dhe B. Pavarësia e ngjarjeve do të thotë që ndodhja e A nuk ndikon në ndodhjen e B.
– Nëse dy ngjarje A dhe B përjashtojnë njëra-tjetrën, atëherë P(A∩B)=0.
– Nëse dy ngjarje A dhe B të pavarura, atëherë P(A∩B)=P(A). P(B)
