Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit kundrejt funksionit të densitetit të probabilitetit
Probabiliteti është mundësia që një ngjarje të ndodhë. Kjo ide është shumë e zakonshme dhe përdoret shpesh në jetën e përditshme kur vlerësojmë mundësitë tona, transaksionet dhe shumë gjëra të tjera. Zgjerimi i këtij koncepti të thjeshtë në një grup më të madh ngjarjesh është pak më sfiduese. Për shembull, ne nuk mund t'i kuptojmë lehtë shanset për të fituar një llotari, por është e përshtatshme, mjaft intuitive, të themi se ka gjasa që një në gjashtë do të marrim numrin gjashtë në një zare të hedhur.
Kur numri i ngjarjeve që mund të ndodhin po bëhet më i madh, ose numri i mundësive individuale është i madh, kjo ide mjaft e thjeshtë e probabilitetit dështon. Prandaj, duhet t'i jepet një përkufizim solid matematik përpara se t'i qasemi problemeve me kompleksitet më të lartë.
Kur numri i ngjarjeve që mund të ndodhin në një situatë të vetme është i madh, është e pamundur të konsiderohet çdo ngjarje individualisht si në shembullin e zarit të hedhur. Prandaj, i gjithë grupi i ngjarjeve përmblidhet duke prezantuar konceptin e ndryshores së rastësishme. Është një variabël, i cili mund të marrë vlerat e ngjarjeve të ndryshme në atë situatë të veçantë (ose hapësirën e mostrës). Ai u jep një kuptim matematikor ngjarjeve të thjeshta në situatë dhe mënyrë matematikore të adresimit të ngjarjes. Më saktësisht, një ndryshore e rastësishme është një funksion me vlerë reale mbi elementët e hapësirës së mostrës. Variablat e rastësishëm mund të jenë ose diskrete ose të vazhdueshme. Ato zakonisht shënohen me shkronjat e mëdha të alfabetit anglez.
Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit (ose thjesht, shpërndarja e probabilitetit) është një funksion që cakton vlerat e probabilitetit për secilën ngjarje; dmth siguron një lidhje me probabilitetet për vlerat që mund të marrë ndryshorja e rastësishme. Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit është përcaktuar për variabla diskrete të rastësishme.
Funksioni i densitetit të probabilitetit është ekuivalenti i funksionit të shpërndarjes së probabilitetit për variablat e rastësishme të vazhdueshme, jep gjasat që një ndryshore e caktuar e rastësishme të supozojë një vlerë të caktuar.
Nëse X është një ndryshore e rastësishme diskrete, funksioni i dhënë si f (x)=P (X=x) për çdo x brenda intervalit të X quhet funksioni i shpërndarjes së probabilitetit. Një funksion mund të shërbejë si funksion i shpërndarjes së probabilitetit nëse dhe vetëm nëse funksioni plotëson kushtet e mëposhtme.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Një funksion f (x) që përcaktohet mbi bashkësinë e numrave realë quhet funksioni i densitetit të probabilitetit të ndryshores së rastësishme të vazhdueshme X, nëse dhe vetëm nëse, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx për çdo konstante reale a dhe b.
Funksioni i densitetit të probabilitetit duhet të plotësojë gjithashtu kushtet e mëposhtme.
1. f (x) ≥ 0 për të gjitha x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Si funksioni i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i densitetit të probabilitetit përdoren për të përfaqësuar shpërndarjen e probabiliteteve në hapësirën e mostrës. Zakonisht, këto quhen shpërndarje probabiliteti.
Për modelimin statistikor, janë nxjerrë funksionet standarde të densitetit të probabilitetit dhe funksionet e shpërndarjes së probabilitetit. Shpërndarja normale dhe shpërndarja normale standarde janë shembuj të shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit. Shpërndarja binomiale dhe shpërndarja Poisson janë shembuj të shpërndarjeve diskrete të probabilitetit.
Cili është ndryshimi midis shpërndarjes së probabilitetit dhe funksionit të densitetit të probabilitetit?
• Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i densitetit të probabilitetit janë funksione të përcaktuara në hapësirën e mostrës, për të caktuar vlerën përkatëse të probabilitetit për secilin element.
• Funksionet e shpërndarjes së probabilitetit përcaktohen për variablat e rastësishme diskrete ndërsa funksionet e densitetit të probabilitetit përcaktohen për variablat e rastësishme të vazhdueshme.
• Shpërndarja e vlerave të probabilitetit (d.m.th. shpërndarjet e probabilitetit) portretizohen më së miri nga funksioni i densitetit të probabilitetit dhe funksioni i shpërndarjes së probabilitetit.
• Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit mund të përfaqësohet si vlera në një tabelë, por kjo nuk është e mundur për funksionin e densitetit të probabilitetit sepse ndryshorja është e vazhdueshme.
• Kur vizatohet, funksioni i shpërndarjes së probabilitetit jep një grafik me shirit ndërsa funksioni i densitetit të probabilitetit jep një kurbë.
• Lartësia/gjatësia e shufrave të funksionit të shpërndarjes së probabilitetit duhet të shtohet në 1 ndërsa sipërfaqja nën kurbën e funksionit të densitetit të probabilitetit duhet të shtohet në 1.
• Në të dyja rastet, të gjitha vlerat e funksionit duhet të jenë jonegative.
