Ndryshoret e rastësishme kundrejt shpërndarjes së probabilitetit
Eksperimentet statistikore janë eksperimente të rastësishme që mund të përsëriten pafundësisht me një grup të njohur rezultatesh. Të dy variablat e rastësishëm dhe shpërndarjet e probabilitetit shoqërohen me eksperimente të tilla. Për çdo ndryshore të rastësishme, ekziston një shpërndarje probabiliteti e lidhur e përcaktuar nga një funksion i quajtur funksioni kumulativ i shpërndarjes.
Çfarë është një ndryshore e rastësishme?
Një ndryshore e rastësishme është një funksion që cakton vlera numerike për rezultatet e një eksperimenti statistikor. Me fjalë të tjera, është një funksion i përcaktuar nga hapësira e mostrës së një eksperimenti statistikor në grupin e numrave realë.
Për shembull, merrni parasysh një eksperiment të rastësishëm të rrokullisjes së një monedhe dy herë. Rezultatet e mundshme janë HH, HT, TH dhe TT (H – koka, T – përralla). Le të jetë ndryshorja X numri i kokave të vëzhguara në eksperiment. Pastaj, X mund të marrë vlerat 0, 1 ose 2, dhe është një ndryshore e rastësishme. Këtu, ndryshorja e rastësishme X do të hartojë grupin S={HH, HT, TH, TT} (hapësirën e mostrës) në grupin {0, 1, 2} në mënyrë të tillë që HH të pasqyrohet në 2, HT dhe TH janë paraqitur në 1 dhe TT është hartuar në 0. Në shënimin e funksionit, kjo mund të shkruhet si, X: S → R ku X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 dhe X(TT)=0.
Ekzistojnë dy lloje të ndryshoreve të rastësishme: diskrete dhe të vazhdueshme, në përputhje me rrethanat, numri i vlerave të mundshme që një ndryshore e rastësishme mund të supozojë është maksimumi i numërueshëm ose jo. Në shembullin e mëparshëm, ndryshorja e rastësishme X është një ndryshore e rastësishme diskrete pasi {0, 1, 2} është një grup i kufizuar. Tani, merrni parasysh eksperimentin statistikor të gjetjes së peshave të nxënësve në një klasë. Le të jetë Y ndryshorja e rastësishme e përcaktuar si pesha e një studenti. Y mund të marrë çdo vlerë reale brenda një intervali specifik. Prandaj, Y është një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme.
Çfarë është shpërndarja e probabilitetit?
Shpërndarja e probabilitetit është një funksion që përshkruan probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë vlera të caktuara.
Një funksion i quajtur funksioni i shpërndarjes kumulative (F) mund të përcaktohet nga bashkësia e numrave realë në bashkësinë e numrave realë si F(x)=P(X ≤ x) (probabiliteti që X të jetë më i vogël se ose e barabartë me x) për çdo rezultat të mundshëm x. Tani funksioni kumulativ i shpërndarjes së X në shembullin e parë mund të shkruhet si F(a)=0, nëse a<0; F(a)=0.25, nëse 0≤a<1; F(a)=0,75, nëse 1≤a<2 dhe F(a)=1, nëse a≥2.
Në rastin e ndryshoreve diskrete të rastësishme, një funksion mund të përcaktohet nga grupi i rezultateve të mundshme në bashkësinë e numrave realë në mënyrë të tillë që ƒ(x)=P(X=x) (probabiliteti i X duke qenë e barabartë me x) për çdo rezultat të mundshëm x. Ky funksion i veçantë ƒ quhet funksioni i masës së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X. Tani funksioni i masës së probabilitetit të X në shembullin e parë të veçantë mund të shkruhet si ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 dhe ƒ(x)=0 ndryshe. Kështu, funksioni i masës së probabilitetit së bashku me funksionin e shpërndarjes kumulative do të përshkruajë shpërndarjen e probabilitetit të X në shembullin e parë.
Në rastin e variablave të rastësishme të vazhdueshme, një funksion i quajtur funksioni i densitetit të probabilitetit (ƒ) mund të përkufizohet si ƒ(x)=dF(x)/dx për çdo x ku F është funksioni kumulativ i shpërndarjes së ndryshore e vazhdueshme e rastësishme. Është e lehtë të shihet se ky funksion plotëson ∫ƒ(x)dx=1. Funksioni i densitetit të probabilitetit së bashku me funksionin kumulativ të shpërndarjes përshkruan shpërndarjen e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Për shembull, shpërndarja normale (e cila është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti) përshkruhet duke përdorur funksionin e densitetit të probabilitetit ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Cili është ndryshimi midis variablave të rastësishëm dhe shpërndarjes së probabilitetit?
• Variabla e rastësishme është një funksion që lidh vlerat e një hapësire të mostrës me një numër real.
• Shpërndarja e probabilitetit është një funksion që lidh vlerat që një ndryshore e rastësishme mund të marrë me probabilitetin përkatës të ndodhjes.
