Ekuacione diferenciale lineare kundër jolineare
Një ekuacion që përmban të paktën një koeficient diferencial ose derivat të një ndryshoreje të panjohur njihet si ekuacion diferencial. Një ekuacion diferencial mund të jetë ose linear ose jolinear. Qëllimi i këtij artikulli është të shpjegojë se çfarë është ekuacioni diferencial linear, çfarë është ekuacioni diferencial jolinear dhe cili është ndryshimi midis ekuacioneve diferenciale lineare dhe jolineare.
Që nga zhvillimi i llogaritjes në shekullin e 18-të nga matematikanët si Njutoni dhe Leibnitz, ekuacioni diferencial ka luajtur një rol të rëndësishëm në historinë e matematikës. Ekuacionet diferenciale kanë një rëndësi të madhe në matematikë për shkak të shtrirjes së tyre të zbatimit. Ekuacionet diferenciale janë në qendër të çdo modeli që ne zhvillojmë për të shpjeguar çdo skenar ose ngjarje në botë, qoftë në fizikë, inxhinieri, kimi, statistika, analiza financiare ose biologji (lista është e pafundme). Në fakt, derisa llogaritja u bë një teori e themeluar, mjetet e duhura matematikore nuk ishin në dispozicion për të analizuar problemet interesante në natyrë.
Ekuacionet që rezultojnë nga një aplikim specifik i llogaritjes mund të jenë shumë komplekse dhe ndonjëherë të pazgjidhshme. Megjithatë, ka nga ato që ne mund t'i zgjidhim, por mund të duken njësoj dhe konfuze. Prandaj, për identifikim më të lehtë ekuacionet diferenciale kategorizohen sipas sjelljes së tyre matematikore. Linear dhe jolinear është një kategorizim i tillë. Është e rëndësishme të identifikohet ndryshimi midis ekuacioneve diferenciale lineare dhe jolineare.
Çfarë është një ekuacion diferencial linear?
Supozojmë se f: X→Y dhe f(x)=y, një ekuacion diferencial pa terma jolinearë të funksionit të panjohur y dhe derivateve të tij njihet si një ekuacion diferencial linear.
Ai imponon kushtin që y nuk mund të ketë terma të indeksit më të lartë si y2, y3, … dhe shumëfisha të derivateve të tilla si
Ai gjithashtu nuk mund të përmbajë terma jolinearë si Sin y, e y ^-2, ose ln y. Ajo merr formën,
ku y dhe g janë funksione të x. Ekuacioni është një ekuacion diferencial i rendit n, i cili është indeksi i derivatit të rendit më të lartë.
Në një ekuacion diferencial linear, operatori diferencial është një operator linear dhe zgjidhjet formojnë një hapësirë vektoriale. Si rezultat i natyrës lineare të grupit të zgjidhjeve, një kombinim linear i zgjidhjeve është gjithashtu një zgjidhje për ekuacionin diferencial. Kjo do të thotë, nëse y1 dhe y2 janë zgjidhje të ekuacionit diferencial, atëherë C1 y 1+ C2 y2 është gjithashtu një zgjidhje.
Lineariteti i ekuacionit është vetëm një parametër i klasifikimit, dhe më tej mund të kategorizohet në ekuacione diferenciale homogjene ose jo homogjene dhe të zakonshme ose të pjesshme. Nëse funksioni është g=0, atëherë ekuacioni është një ekuacion diferencial linear homogjen. Nëse f është një funksion i dy ose më shumë ndryshoreve të pavarura (f: X, T→Y) dhe f(x, t)=y, atëherë ekuacioni është një ekuacion diferencial i pjesshëm linear.
Metoda e zgjidhjes për ekuacionin diferencial varet nga lloji dhe koeficientët e ekuacionit diferencial. Rasti më i lehtë lind kur koeficientët janë konstantë. Shembull klasik për këtë rast është ligji i dytë i lëvizjes i Njutonit dhe aplikimet e tij të ndryshme. Ligji i dytë i Njutonit prodhon një ekuacion diferencial linear të rendit të dytë me koeficientë konstante.
Çfarë është një ekuacion diferencial jolinear?
Ekuacionet që përmbajnë terma jolinearë njihen si ekuacione diferenciale jolineare.
Të gjitha më sipër janë ekuacione diferenciale jolineare. Ekuacionet diferenciale jolineare janë të vështira për t'u zgjidhur, prandaj kërkohet studim i afërt për të marrë një zgjidhje të saktë. Në rastin e ekuacioneve diferenciale të pjesshme, shumica e ekuacioneve nuk kanë zgjidhje të përgjithshme. Prandaj, çdo ekuacion duhet të trajtohet në mënyrë të pavarur.
Ekuacioni Navier-Stokes dhe ekuacioni i Euler-it në dinamikën e lëngjeve, ekuacionet e fushës së Ajnshtajnit të relativitetit të përgjithshëm janë ekuacione diferenciale të pjesshme jolineare të njohura. Ndonjëherë aplikimi i ekuacionit të Lagranzhit në një sistem të ndryshueshëm mund të rezultojë në një sistem ekuacionesh diferenciale të pjesshme jolineare.
Cili është ndryshimi midis Ekuacioneve Diferenciale Lineare dhe Jolineare?
• Një ekuacion diferencial, i cili ka vetëm termat linearë të ndryshores së panjohur ose të varur dhe derivatet e saj, njihet si ekuacion diferencial linear. Nuk ka term me variablin e varur të indeksit më të lartë se 1 dhe nuk përmban asnjë shumëfish të derivateve të tij. Nuk mund të ketë funksione jolineare si funksione trigonometrike, funksione eksponenciale dhe funksione logaritmike në lidhje me variablin e varur. Çdo ekuacion diferencial që përmban termat e lartpërmendur është një ekuacion diferencial jolinear.
• Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale lineare krijojnë hapësirë vektoriale dhe operatori diferencial është gjithashtu një operator linear në hapësirën vektoriale.
• Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale lineare janë relativisht më të lehta dhe ekzistojnë zgjidhje të përgjithshme. Për ekuacionet jolineare, në shumicën e rasteve, zgjidhja e përgjithshme nuk ekziston dhe zgjidhja mund të jetë specifike për problemin. Kjo e bën zgjidhjen shumë më të vështirë se ekuacionet lineare.
