Kardinali vs Ordinal
Në jetën tonë të përditshme, përdorimi i numrave mund të marrë forma të ndryshme në situata të ndryshme. Për shembull, kur numërojmë për të kuptuar madhësinë e një koleksioni objektesh, i numërojmë ato si një, dy, tre, e kështu me radhë. Kur duam të numërojmë diçka për të marrë kuptimin e pozicionit të objekteve, i numërojmë ato si të para, të dyta, të treta etj. Në formën e parë të numërimit, numrat thuhet se janë numra kryesorë. Në formën e dytë të numërimit, numrat konsiderohen si numra rendorë. Në këtë kontekst, konceptet kardinal dhe rendor janë tërësisht çështje gjuhësore; kardinal dhe rendor janë mbiemra.
Megjithatë, shtrirja e konceptit në grupe në matematikë zbulon një këndvështrim shumë më të thellë dhe më të gjerë dhe nuk mund të trajtohet me terma të thjeshtë. Në këtë artikull, ne do të përpiqemi të kuptojmë konceptet themelore të numrave kardinal dhe rendor në matematikë.
Përkufizimet formale të numrave kardinal dhe rendor jepen në teorinë e grupeve. Përkufizimet janë të ndërlikuara dhe për t'i kuptuar ato në kuptimin e përsosur nevojitet njohuri bazë në teorinë e grupeve. Prandaj, ne do t'i drejtohemi disa shembujve, për të kuptuar konceptet në mënyrë heuristike.
Merr parasysh dy grupet {1, 3, 6, 4, 5, 2} dhe {autobus, makinë, traget, tren, aeroplan, helikopter}. Çdo grup liston një grup elementësh dhe nëse numërojmë numrin e elementeve është evidente se secili ka të njëjtin numër elementësh, i cili është 6. Për të arritur në këtë përfundim kemi marrë madhësinë e një grupi dhe krahasojmë me një tjetër duke përdorur një numri. Një numër i tillë quhet numër kardinal. Prandaj, mund të themi se një numër kardinal është një numër që mund ta përdorim për të krahasuar madhësinë e grupeve të fundme.
Përsëri grupi i parë i numrave mund të renditet në rend rritës duke marrë parasysh madhësinë e secilit element dhe duke i krahasuar ato. Në procesin e porositjes, numrat konsiderohen si kardinalë. Po kështu, bashkësia e të gjithë numrave të plotë jonegativë mund të renditet në një grup; dmth {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Por në këtë rast, madhësia e grupit bëhet e pafundme, dhe dhënia e saj në aspektin rendor nuk është e mundur. Pavarësisht se sa i madh zgjidhni një numër për të dhënë madhësinë e grupit, përsëri do të mbeten numra jashtë grupit që zgjidhni dhe që janë numra të plotë jonegativë.
Prandaj, matematikanët e përcaktojnë këtë kardinal të pafund (i cili është i pari) si Aleph-0, i shkruar si א (shkronja e parë në alfabetin hebraik). Formalisht numri rendor është lloji i rendit të një grupi të renditur mirë. Prandaj, numri rendor i grupeve të fundme mund të jepet me numra kardinalë, por për grupet e pafundme rendorja jepet nga numra transfinite si Aleph-0.
Cili është ndryshimi midis numrave kardinal dhe rendor?
• Numri kardinal është një numër që mund të përdoret për të numëruar ose për të dhënë madhësinë e një grupi të renditur të fundëm. Të gjithë numrat kryesorë janë rendorë.
• Numrat rendorë janë numra që përdoren për të dhënë madhësinë e bashkësive të renditura të fundme dhe të pafundme. Madhësia e grupeve të renditura të fundme jepet nga numrat e zakonshëm algjebrikë hindu-arabë dhe madhësia e grupeve të pafundme jepet me numra transfinite.
