Ekuacioni linear vs ekuacioni jolinear
Në matematikë, ekuacionet algjebrike janë ekuacione, të cilat formohen duke përdorur polinome. Kur shkruhen në mënyrë eksplicite, ekuacionet do të jenë të formës P(x)=0, ku x është një vektor i n ndryshoreve të panjohura dhe P është një polinom. Për shembull, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 është një ekuacion algjebrik në dy variabla të shkruar në mënyrë eksplicite. Gjithashtu, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 është një ekuacion algjebrik, por në formë të nënkuptuar dhe do të marrë formën Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, një herë e shkruar në mënyrë eksplicite.
Një karakteristikë e rëndësishme e një ekuacioni algjebrik është shkalla e tij. Përcaktohet të jetë fuqia më e lartë e termave që ndodhin në ekuacion. Nëse një term përbëhet nga dy ose më shumë ndryshore, shuma e eksponentëve të secilës ndryshore do të merret si fuqia e termit. Vëreni se sipas këtij përkufizimi P(x, y)=0 është e shkallës 5, ndërsa Q(x, y, z)=0 është e shkallës 5.
Ekuacionet lineare dhe ekuacionet jolineare janë një ndarje me dy pjesë të përcaktuara në grupin e ekuacioneve algjebrike. Shkalla e ekuacionit është faktori që i dallon ato nga njëri-tjetri.
Çfarë është një ekuacion linear?
Një ekuacion linear është një ekuacion algjebrik i shkallës 1. Për shembull, 4x + 5=0 është një ekuacion linear i një ndryshoreje. x + y + 5z=0 dhe 4x=3w + 5y + 7z janë ekuacione lineare të 3 dhe 4 variablave përkatësisht. Në përgjithësi, një ekuacion linear i n variablave do të marrë formën m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Këtu, xi janë ndryshoret e panjohura, mi dhe b janë numra realë ku secili prej mi është jo zero.
Një ekuacion i tillë paraqet një hiperplan në hapësirën Euklidiane n-dimensionale. Në veçanti, një ekuacion linear me dy ndryshore përfaqëson një vijë të drejtë në rrafshin kartezian dhe një ekuacion linear me tre ndryshore përfaqëson një rrafsh në hapësirën 3 Euklidiane.
Çfarë është një ekuacion jolinear?
Një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik, i cili nuk është linear. Me fjalë të tjera, një ekuacion jolinear është një ekuacion algjebrik i shkallës 2 ose më i lartë. x2 + 3x + 2=0 është një ekuacion jolinear me një ndryshore të vetme. x2 + y3+ 3xy=4 dhe 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 janë shembuj të ekuacioneve jolineare të 3 dhe 4 ndryshoreve respektivisht.
Një ekuacion jolinear i shkallës së dytë quhet ekuacion kuadratik. Nëse shkalla është 3, atëherë quhet ekuacion kub. Ekuacionet e shkallës 4 dhe shkallës 5 quhen përkatësisht ekuacione kuartike dhe kuintike. Është vërtetuar se nuk ekziston një metodë analitike për të zgjidhur ndonjë ekuacion jolinear të shkallës 5, dhe kjo është e vërtetë edhe për çdo shkallë më të lartë. Ekuacionet jolineare të zgjidhshme përfaqësojnë sipërfaqet hiper që nuk janë hiperplane.
Cili është ndryshimi midis ekuacionit linear dhe ekuacionit jolinear?
• Një ekuacion linear është një ekuacion algjebrik i shkallës 1, por një ekuacion jolinear është një ekuacion algjebrik i shkallës 2 ose më i lartë.
• Edhe pse çdo ekuacion linear është i zgjidhshëm analitikisht, nuk është rasti në ekuacionet jolineare.
• Në hapësirën Euklidiane n-dimensionale, hapësira e zgjidhjes së një ekuacioni linear n-ndryshore është një hiper plan, ndërsa ajo e një ekuacioni jolinear me n-ndryshore është një sipërfaqe hiper, e cila nuk është një hiper plan. (Kadrikë, sipërfaqe kubike etj.)
