Diferenca midis ekuacionit linear dhe ekuacionit kuadratik

2025 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2025-01-23 12:07

Ekuacioni linear vs ekuacioni kuadratik

Në matematikë, ekuacionet algjebrike janë ekuacione që formohen duke përdorur polinome. Kur shkruhen në mënyrë eksplicite, ekuacionet do të jenë të formës P(x)=0, ku x është një vektor i n ndryshoreve të panjohura dhe P është një polinom. Për shembull, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 është një ekuacion algjebrik i dy variablave të shkruar në mënyrë eksplicite. Gjithashtu, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ është një ekuacion algjebrik, por në formë të nënkuptuar. Do të marrë formën Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, një herë e shkruar në mënyrë eksplicite.}

Një karakteristikë e rëndësishme e një ekuacioni algjebrik është shkalla e tij. Përcaktohet të jetë fuqia më e lartë e termave që ndodhin në ekuacion. Nëse një term përbëhet nga dy ose më shumë ndryshore, shuma e eksponentëve të secilës ndryshore do të merret si fuqia e termit. Vëreni se sipas këtij përkufizimi P(x, y)=0 është e shkallës 4 ndërsa Q(x, y, z)=0 është e shkallës 5.

Ekuacionet lineare dhe ekuacionet kuadratike janë dy lloje të ndryshme të ekuacioneve algjebrike. Shkalla e ekuacionit është faktori që i dallon ato nga pjesa tjetër e ekuacioneve algjebrike.

Çfarë është një ekuacion linear?

Një ekuacion linear është një ekuacion algjebrik i shkallës 1. Për shembull, 4x + 5=0 është një ekuacion linear i një ndryshoreje. x + y + 5z=0 dhe 4x=3w + 5y + 7z janë ekuacione lineare të 3 dhe 4 variablave përkatësisht. Në përgjithësi, një ekuacion linear prej n variablash do të marrë formën m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Këtu, x_i janë ndryshoret e panjohura, m_i dhe b janë numra realë ku secili prej m_i është jo zero.

Një ekuacion i tillë paraqet një hiperplan në hapësirën Euklidiane n-dimensionale. Në veçanti, një ekuacion linear me dy ndryshore përfaqëson një vijë të drejtë në rrafshin kartezian dhe një ekuacion linear me tre ndryshore përfaqëson një rrafsh në hapësirën 3 Euklidiane.

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës së dytë. x² + 3x + 2=0 është një ekuacion kuadratik me ndryshore të vetme. x² + y² + 3x=4 dhe 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 janë shembuj të ekuacioneve kuadratike të 2 dhe 3 ndryshoreve respektivisht.}

Në rastin e ndryshores së vetme, forma e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik është ax² + bx + c=0. Ku a, b, c janë numra realë nga të cilët 'a' është jo zero. Diskriminuesi ∆=(b^{2 – 4ac) përcakton natyrën e rrënjëve të ekuacionit kuadratik. Rrënjët e ekuacionit do të jenë reale të dallueshme, reale të ngjashme dhe komplekse, pasi ∆ është pozitive, zero dhe negative. Rrënjët e ekuacionit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur formulën x=(- b ± √∆) / 2a.}

Në rastin e dy variablave, forma e përgjithshme do të ishte ax² + nga^{2 + cxy + dx + ex + f=0, dhe kjo paraqet një konik (parabolë, hiperbolë ose elips) në rrafshin kartezian. Në dimensione më të larta, ky lloj ekuacionesh përfaqëson hiper-sipërfaqe të njohura si kuadrikë.}

Cili është ndryshimi midis ekuacioneve lineare dhe kuadratike?

• Një ekuacion linear është një ekuacion algjebrik i shkallës 1, ndërsa një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës 2.

• Në hapësirën Euklidiane n-dimensionale, hapësira e zgjidhjes së një ekuacioni linear n-ndryshore është një hiper plan ndërsa ajo e një ekuacioni kuadratik me n-ndryshore është një sipërfaqe katërkëndore.