Ekuacioni i ndryshimit kundrejt ekuacionit diferencial
Një fenomen natyror mund të përshkruhet matematikisht nga funksionet e një numri variablash dhe parametrash të pavarur. Sidomos kur ato shprehen me një funksion të pozicionit hapësinor dhe kohës, rezulton në ekuacione. Funksioni mund të ndryshojë me ndryshimin e variablave të pavarur ose parametrave. Një ndryshim pafundësisht i vogël që ndodh në funksion kur ndryshohet një nga variablat e tij quhet derivat i atij funksioni.
Një ekuacion diferencial është çdo ekuacion që përmban derivate të një funksioni si dhe vetë funksionin. Një ekuacion i thjeshtë diferencial është ai i Ligjit të Dytë të Lëvizjes së Njutonit. Nëse një objekt me masë m lëviz me nxitimin 'a' dhe mbi të veprohet me forcën F, atëherë Ligji i Dytë i Njutonit na tregon se F=ma. Këtu përsëri, 'a' ndryshon me kohën, ne mund ta rishkruajmë 'a' si; a=dv/dt; v është shpejtësia. Shpejtësia është funksion i hapësirës dhe kohës, pra v=ds/dt; prandaj 'a'=d2s/dt2
Duke mbajtur parasysh këto, ne mund ta rishkruajmë ligjin e dytë të Njutonit si një ekuacion diferencial;
'F' si funksion i v dhe t – F(v, t)=mdv/dt, ose
'F' si funksion i s dhe t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Ekzistojnë dy lloje ekuacionesh diferenciale; ekuacion diferencial i zakonshëm, i shkurtuar me ODE ose ekuacion diferencial i pjesshëm, i shkurtuar nga PDE. Ekuacioni diferencial i zakonshëm do të ketë derivate të zakonshme (derivate të vetëm një ndryshoreje) në të. Ekuacioni diferencial i pjesshëm do të ketë derivate diferenciale (derivate të më shumë se një ndryshoreje) në të.
p.sh. F=m d2s/dt2 është një ODE, ndërsa α2 d 2u/dx2=du/dt është një PDE, ka derivate të t dhe x.
Ekuacioni i diferencës është i njëjtë me ekuacionin diferencial, por ne e shikojmë atë në kontekst të ndryshëm. Në ekuacionet diferenciale, ndryshorja e pavarur si koha konsiderohet në kontekstin e sistemit të vazhdueshëm të kohës. Në sistemin diskret të kohës, ne e quajmë funksionin si ekuacion diferenci.
Ekuacioni i diferencës është një funksion i dallimeve. Ndryshimet në variablat e pavarur janë tre llojesh; sekuenca e numrave, sistemi dinamik diskret dhe funksioni i përsëritur.
Në sekuencën e numrave ndryshimi gjenerohet në mënyrë rekursive duke përdorur një rregull për të lidhur çdo numër në sekuencë me numrat e mëparshëm në sekuencë.
Ekuacioni i ndryshimit në një sistem dinamik diskret merr një sinjal hyrje diskrete dhe prodhon sinjal dalës.
Ekuacioni i ndryshimit është një hartë e përsëritur për funksionin e përsëritur. P.sh., y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….është sekuenca e një funksioni të përsëritur. F(y0) është përsëritja e parë e y0 Përsëritja k-të do të shënohet me fk (y0).
