Dallimi midis integrimit dhe përmbledhjes

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 13:50

Integrimi vs Përmbledhja

Në matematikën e mësipërme të shkollës së mesme, integrimi dhe përmbledhja gjenden shpesh në veprimet matematikore. Ato përdoren në dukje si mjete të ndryshme dhe në situata të ndryshme, por kanë një marrëdhënie shumë të ngushtë.

Më shumë rreth Përmbledhjes

Përmbledhja është veprimi i mbledhjes së një sekuence numrash dhe operacioni shpesh shënohet me shkronjën greke të sigmës së madhe Σ. Përdoret për të shkurtuar mbledhjen dhe është e barabartë me shumën/totalin e sekuencës. Ato përdoren shpesh për të përfaqësuar seritë, të cilat në thelb janë sekuenca të pafundme të përmbledhura. Ato mund të përdoren gjithashtu për të treguar shumën e vektorëve, matricave ose polinomeve.

Përmbledhja zakonisht bëhet për një varg vlerash që mund të përfaqësohen nga një term i përgjithshëm, si për shembull një seri që ka një term të përbashkët. Pika e fillimit dhe pika e fundit e përmbledhjes njihen përkatësisht si kufiri i poshtëm dhe kufiri i sipërm i përmbledhjes.

Për shembull, shuma e sekuencës a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n është një₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n që mund të përfaqësohet lehtësisht duke përdorur shënimin përmbledhës si ∑ _i=1 a_{i; i quhet indeksi i mbledhjes.}

Shumë variacione përdoren për përmbledhjen bazuar në aplikacion. Në disa raste, kufiri i sipërm dhe ai i poshtëm mund të jepen si një interval ose një interval, si p.sh. ∑_1≤i≤100 a_i dhe ∑_{i∈[1, 100]} a_i Ose mund të jepet si një grup numrash si ∑_i∈P a_{i, ku P është një grup i përcaktuar.}

Në disa raste, mund të përdoren dy ose më shumë shenja sigma, por ato mund të përgjithësohen si më poshtë; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Gjithashtu, përmbledhja ndjek shumë rregulla algjebrike. Meqenëse operacioni i integruar është mbledhja, shumë nga rregullat e zakonshme të algjebrës mund të zbatohen për vetë shumat dhe për termat individualë të përshkruar nga përmbledhja.

Më shumë rreth Integrimit

Integrimi përkufizohet si procesi i kundërt i diferencimit. Por në pamjen e tij gjeometrike mund të konsiderohet edhe si zona e mbyllur nga kurba e funksionit dhe boshtit. Prandaj, llogaritja e sipërfaqes jep vlerën e një integrali të caktuar siç tregohet në diagram.

Burimi i imazhit:

Vlera e integralit të caktuar është në fakt shuma e shiritave të vegjël brenda lakores dhe boshtit. Sipërfaqja e çdo shiriti është lartësia×gjerësia në pikën e boshtit të konsideruar. Gjerësia është një vlerë që mund të zgjedhim, le të themi ∆x. Dhe lartësia është afërsisht vlera e funksionit në pikën e konsideruar, të themi f (x_{i). Nga diagrami, është e qartë se sa më të vogla të jenë shiritat më mirë, shiritat përshtaten brenda zonës së kufizuar, pra përafrim më i mirë i vlerës.}

Pra, në përgjithësi integrali i caktuar I, ndërmjet pikave a dhe b (d.m.th. në intervalin [a, b] ku a<b), mund të jepet si I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, ku n është numri i shiritave (n=(b-a)/∆x). Kjo përmbledhje e zonës mund të përfaqësohet lehtësisht duke përdorur shënimin përmbledhës si I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Meqenëse përafrimi është më i mirë kur ∆x është më i vogël, ne mund të llogarisim vlerën kur ∆x→0. Prandaj, është e arsyeshme të thuhet I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Si përgjithësim nga koncepti i mësipërm, ne mund të zgjedhim ∆x bazuar në intervalin e konsideruar të indeksuar nga i (duke zgjedhur gjerësinë e zonës bazuar në pozicionin). Pastaj marrim

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Ky njihet si Integrali Reimann i funksionit f (x) në intervalin [a, b]. Në këtë rast a dhe b njihen si kufiri i sipërm dhe i poshtëm i integralit. Integrali Reimann është një formë bazë e të gjitha metodave të integrimit.

Në thelb, integrimi është përmbledhja e sipërfaqes kur gjerësia e drejtkëndëshit është infinite e vogël.

Cili është ndryshimi midis Integrimit dhe Përmbledhjes?

• Përmbledhja është mbledhja e një sekuence numrash. Zakonisht, përmbledhja jepet në këtë formë ∑_i=1 a_{i kur termat në sekuencë kanë një model dhe mund të shprehen duke përdorur një term të përgjithshëm.}

• Integrimi është në thelb zona e kufizuar nga kurba e funksionit, boshti dhe kufijtë e sipërm dhe të poshtëm. Kjo zonë mund të jepet si shuma e zonave shumë më të vogla të përfshira në zonën e kufizuar.

• Përmbledhja përfshin vlerat diskrete me kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, ndërsa integrimi përfshin vlera të vazhdueshme.

• Integrimi mund të interpretohet si një formë e veçantë përmbledhjeje.

• Në metodat e llogaritjes numerike, integrimi kryhet gjithmonë si një përmbledhje.