Diferenca midis sekuencës aritmetike dhe sekuencës gjeometrike

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-17 23:46

Sekuenca aritmetike kundrejt sekuencës gjeometrike

Studimi i modeleve të numrave dhe sjelljes së tyre është një studim i rëndësishëm në fushën e matematikës. Shpesh këto modele mund të shihen në natyrë dhe na ndihmojnë të shpjegojmë sjelljen e tyre në një këndvështrim shkencor. Sekuencat aritmetike dhe sekuencat gjeometrike janë dy nga modelet bazë që ndodhin në numra dhe shpesh gjenden në dukuritë natyrore.

Sekuenca është një grup numrash të renditur. Numri i elementeve në sekuencë mund të jetë ose i fundëm ose i pafund.

Më shumë rreth sekuencës aritmetike (progresioni aritmerik)

Një sekuencë aritmetike përkufizohet si një sekuencë numrash me një ndryshim konstant midis çdo termi të njëpasnjëshëm. Njihet gjithashtu si progresion aritmetik.

Sekuenca aritmetike ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; ku a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, e kështu me radhë.}

Nëse termi fillestar është a₁ dhe ndryshimi i përbashkët është d, atëherë termi n^{-të i sekuencës jepet nga;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Duke çuar më tej rezultatin e mësipërm, termi n^{të mund të jepet gjithashtu si;}

a_n =a_m + (n-m)d, ku a_{m është një term i rastësishëm në sekuencë të tillë që n > m.}

Bashkimi i numrave çift dhe bashkësia e numrave tek janë shembujt më të thjeshtë të sekuencave aritmetike, ku çdo sekuencë ka një ndryshim të përbashkët (d) prej 2.

Numri i termave në një sekuencë mund të jetë ose i pafund ose i fundëm. Në rastin e pafundëm (n → ∞), sekuenca priret në pafundësi në varësi të ndryshimit të përbashkët (a_{n → ±∞). Nëse diferenca e përbashkët është pozitive (d > 0), sekuenca priret drejt pafundësisë pozitive dhe, nëse diferenca e përbashkët është negative (d < 0), priret në pafundësinë negative. Nëse termat janë të fundme, sekuenca është gjithashtu e fundme.}

Shuma e termave në sekuencën aritmetike njihet si seria aritmetike: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{dhe S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] jep vlerën e seri (S}n)

Më shumë rreth sekuencës gjeometrike (Progresioni gjeometrik)

Një sekuencë gjeometrike përkufizohet si një sekuencë në të cilën herësi i çdo dy termash të njëpasnjëshëm është një konstante. Ky njihet gjithashtu si progresion gjeometrik.

Sekuenca gjeometrike ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; ku a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, dhe kështu me radhë, ku r është një numër real.}

Është më e lehtë të përfaqësosh sekuencën gjeometrike duke përdorur raportin e përbashkët (r) dhe termin fillestar (a). Prandaj sekuenca gjeometrike ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Forma e përgjithshme e termave n^të të dhëna nga a_n =a₁r ^n-1. (Humbja e nënshkrimit të termit fillestar ⇒ a_n =ar^n-1)

Sekuenca gjeometrike mund të jetë gjithashtu e fundme ose e pafundme. Nëse numri i termave është i fundëm, sekuenca quhet e fundme. Dhe nëse termat janë të pafund, sekuenca mund të jetë ose e pafundme ose e fundme në varësi të raportit r. Raporti i përbashkët ndikon në shumë nga vetitë në sekuencat gjeometrike.

r > o	0 < r < +1	Sekuenca konvergon - zbërthim eksponencial, d.m.th. an → 0, n → ∞
	r=1	Sekuencë konstante, d.m.th. an=konstante
	r > 1	Sekuenca ndryshon - rritja eksponenciale, d.m.th. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekuenca është lëkundëse, por konvergon
	r=1	Sekuenca është e alternuar dhe konstante, d.m.th. an=±konstante
	r < -1	Sekuenca është e alternuar dhe divergjente. d.m.th. an → ±∞, n → ∞
r=0	Sekuenca është një varg zerosh

N. B: Në të gjitha rastet e mësipërme, a₁ > 0; nëse a₁ < 0, shenjat që lidhen me një_{n do të përmbysen.}

Intervali kohor ndërmjet kërcimeve të një topi ndjek një sekuencë gjeometrike në modelin ideal dhe është një sekuencë konvergjente.

Shuma e termave të sekuencës gjeometrike njihet si seri gjeometrike; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Shuma e serisë gjeometrike mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); ku a është termi fillestar dhe r është raporti.}

Nëse raporti, r ≤ 1, seria konvergjon. Për një seri të pafundme, vlera e konvergjencës jepet me S_n=a/(1-r)

Cili është ndryshimi midis sekuencës/progresionit aritmetik dhe gjeometrik?

• Në një sekuencë aritmetike, çdo dy terma të njëpasnjëshëm kanë një ndryshim të përbashkët (d) ndërsa, në sekuencën gjeometrike, çdo dy terma të njëpasnjëshëm kanë një herës konstante (r).

• Në një sekuencë aritmetike, ndryshimi i termave është linear, pra mund të vizatohet një vijë e drejtë që kalon nëpër të gjitha pikat. Në një seri gjeometrike, ndryshimi është eksponencial; ose në rritje ose në kalbje bazuar në raportin e përbashkët.

• Të gjitha sekuencat e pafundme aritmetike janë divergjente, ndërsa seritë gjeometrike të pafundme mund të jenë ose divergjente ose konvergjente.

• Seria gjeometrike mund të tregojë lëkundje nëse raporti r është negativ ndërsa seria aritmetike nuk shfaq lëkundje