Asociative vs Komutative
Në jetën tonë të përditshme, ne duhet të përdorim numrat sa herë që na duhet të marrim një masë të diçkaje. Në dyqanin ushqimor, në pikën e karburantit, madje edhe në kuzhinë, duhet të shtojmë, zbresim dhe shumëzojmë dy ose më shumë sasi. Nga praktika jonë, ne i kryejmë këto llogaritje mjaft pa mundim. Ne kurrë nuk e vërejmë apo pyesim pse i bëjmë këto operacione në këtë mënyrë të veçantë. Ose pse këto llogaritje nuk mund të bëhen në një mënyrë tjetër. Përgjigja fshihet në mënyrën se si këto operacione janë përcaktuar në fushën matematikore të algjebrës.
Në algjebër, një operacion që përfshin dy sasi (siç është mbledhja) përkufizohet si një operacion binar. Më saktësisht është një veprim midis dy elementeve nga një grup dhe këta elementë quhen 'operand'. Shumë operacione në matematikë duke përfshirë veprimet aritmetike të përmendura më herët dhe ato që hasen në teorinë e grupeve, algjebrën lineare dhe logjikën matematikore mund të përkufizohen si operacione binare.
Ekziston një sërë rregullash qeverisëse që kanë të bëjnë me një operacion specifik binar. Vetitë asociative dhe komutative janë dy veti themelore të operacioneve binare.
Më shumë rreth pronës komutative
Supozoni se një operacion binar, i shënuar me simbolin ⊗, kryhet në elementet A dhe B. Nëse rendi i operandëve nuk po ndikon në rezultatin e operacionit, atëherë thuhet se operacioni është komutativ. d.m.th. nëse A ⊗ B=B ⊗ A atëherë operacioni është komutativ.
Veprimet aritmetike mbledhja dhe shumëzimi janë komutative. Rendi i numrave të mbledhur së bashku ose të shumëzuar së bashku nuk ndikon në përgjigjen përfundimtare:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Por në rastin e pjesëtimit ndryshimi në rend jep reciprokun e tjetrit, dhe në zbritje ndryshimi jep negativin e tjetrit. Prandaj, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 dhe 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 dhe 5 ÷ 4=1,25 [në këtë rast A, B ≠ 1 dhe 0]
Në fakt, zbritja thuhet se është antikomutative; ku A – B=– (B – A).
Gjithashtu, lidhëzat logjike, lidhëza, veçimi, nënkuptimi dhe ekuivalenca janë gjithashtu komutative. Funksionet e së vërtetës janë gjithashtu komutative. Operacionet e vendosura bashkimi dhe kryqëzimi janë komutativ. Mbledhja dhe prodhimi skalar i vektorëve janë gjithashtu komutativë.
Por zbritja vektoriale dhe prodhimi vektorial nuk është komutativ (prodhimi vektorial i dy vektorëve është antikomutativ). Mbledhja e matricës është komutative, por shumëzimi dhe zbritja nuk janë komutative.(Shumëzimi i dy matricave mund të jetë komutativ në raste të veçanta, siç është shumëzimi i një matrice me inversin e saj ose matricën e identitetit; por definitivisht matricat nuk janë komutative nëse matricat nuk janë të së njëjtës madhësi)
Më shumë rreth Pronës Associative
Një operacion binar thuhet se është shoqërues nëse rendi i ekzekutimit nuk ndikon në rezultatin kur dy ose më shumë ndodhi të operatorit janë të pranishme. Konsideroni elementet A, B dhe C dhe veprimin binar ⊗. Operacioni ⊗ thuhet se është shoqërues nëse
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Nga funksionet bazë aritmetike, vetëm mbledhja dhe shumëzimi janë asociative.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Zbritja dhe pjesëtimi nuk janë asociative;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 dhe (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 dhe (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Dijunksioni, lidhëza dhe ekuivalenca e lidhjeve logjike janë shoqëruese, si edhe bashkimi dhe kryqëzimi i operacioneve të vendosur. Matrica dhe mbledhja e vektorit janë asociative. Produkti skalar i vektorëve është asociativ, por prodhimi vektorial jo. Shumëzimi i matricës është shoqërues vetëm në rrethana të veçanta.
Cili është ndryshimi midis pronës komutative dhe shoqëruese?
• Si vetia shoqëruese ashtu edhe vetia komutative janë veti të veçanta të operacioneve binare dhe disa i kënaqin ato dhe disa jo.
• Këto veti mund të shihen në shumë forma të operacioneve algjebrike dhe operacioneve të tjera binare në matematikë, të tilla si kryqëzimi dhe bashkimi në teorinë e grupeve ose lidhjet logjike.
• Dallimi midis komutativit dhe asociativit është se vetia komutative thotë se rendi i elementeve nuk ndryshon rezultatin përfundimtar ndërsa vetia shoqëruese thotë se rendi në të cilin kryhet operacioni nuk ndikon në përgjigjen përfundimtare..
