Parallelogram vs Drejtkëndësh
Paralelogrami dhe drejtkëndëshi janë katërkëndësh. Gjeometria e këtyre figurave ishte e njohur për njeriun për mijëra vjet. Tema trajtohet në mënyrë eksplicite në librin "Elementet" shkruar nga matematikani grek Euklidi.
Parallelogram
Parallelogrami mund të përkufizohet si figura gjeometrike me katër anë, me brinjë të kundërta paralele me njëra-tjetrën. Më saktë është një katërkëndësh me dy palë brinjë paralele. Kjo natyrë paralele u jep shumë karakteristika gjeometrike paralelogrameve.
Një katërkëndësh është një paralelogram nëse gjenden karakteristikat e mëposhtme gjeometrike.
• Dy palë brinjë të kundërta janë të barabarta në gjatësi. (AB=DC, AD=BC)
• Dy palë kënde të kundërta janë të barabarta në madhësi. ([latex]D\kapelë{A}B=B\kapel{C}D, A\kapel{D}C=A\kapel{B}C[/latex])
• Nëse këndet ngjitur janë plotësues [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Një palë brinjë, të cilat janë kundër njëra-tjetrës, janë paralele dhe të barabarta në gjatësi. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën (AO=OC, BO=OD)
• Çdo diagonale e ndan katërkëndëshin në dy trekëndësha kongruentë. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Më tej, shuma e katrorëve të brinjëve është e barabartë me shumën e katrorëve të diagonaleve. Ky nganjëherë referohet si ligji i paralelogramit dhe ka aplikime të përhapura në fizikë dhe inxhinieri. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Secila nga karakteristikat e mësipërme mund të përdoret si veti, pasi të konstatohet se katërkëndëshi është një paralelogram.
Sipërfaqja e paralelogramit mund të llogaritet me prodhimin e gjatësisë së njërës anë dhe lartësisë në anën e kundërt. Prandaj, zona e paralelogramit mund të deklarohet si
Sipërfaqja e paralelogramit=baza × lartësia=AB×h
Sipërfaqja e paralelogramit është e pavarur nga forma e paralelogramit individual. Ai varet vetëm nga gjatësia e bazës dhe lartësia pingule.
Nëse brinjët e një paralelogrami mund të përfaqësohen me dy vektorë, sipërfaqja mund të merret nga madhësia e produktit vektorial (produkti i kryqëzuar) i dy vektorëve ngjitur.
Nëse anët AB dhe AD përfaqësohen nga vektorët ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) dhe ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respektivisht, sipërfaqja e paralelogrami është dhënë nga [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ku α është këndi midis [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] dhe [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Në vijim janë disa veti të avancuara të paralelogramit;
• Sipërfaqja e një paralelogrami është dyfishi i sipërfaqes së një trekëndëshi të krijuar nga ndonjë prej diagonaleve të tij.
• Sipërfaqja e paralelogramit ndahet në gjysmë me çdo drejtëz që kalon nga mesi.
• Çdo transformim afinal jo i degjeneruar merr një paralelogram në një paralelogram tjetër
• Një paralelogram ka simetri rrotulluese të rendit 2
• Shuma e distancave nga çdo pikë e brendshme e një paralelogrami në anët është e pavarur nga vendndodhja e pikës
Drekëndësh
Një katërkëndësh me katër kënde të drejta njihet si drejtkëndësh. Është një rast i veçantë i paralelogramit ku këndet ndërmjet çdo dy brinjësh fqinje janë kënde të drejta.
Përveç të gjitha vetive të një paralelogrami, mund të dallohen karakteristika shtesë kur merret parasysh gjeometria e drejtkëndëshit.
• Çdo kënd në kulmet është një kënd i drejtë.
• Diagonalet janë të barabarta në gjatësi dhe ato përgjysmojnë njëra-tjetrën. Prandaj, seksionet e dyfishta janë gjithashtu të barabarta në gjatësi.
• Gjatësia e diagonaleve mund të llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Formula e sipërfaqes zvogëlohet në prodhimin e gjatësisë dhe gjerësisë.
Sipërfaqja e drejtkëndëshit=gjatësia × gjerësia
• Shumë veti simetrike gjenden në një drejtkëndësh, si p.sh.;
– Një drejtkëndësh është ciklik, ku të gjitha kulmet mund të vendosen në perimetrin e një rrethi.
– Është barakëndësh, ku të gjithë këndet janë të barabartë.
– Është izogonal, ku të gjitha qoshet shtrihen brenda së njëjtës orbitë simetrie.
– Ka simetri reflektuese dhe simetri rrotulluese.
Cili është ndryshimi midis paralelogramit dhe drejtkëndëshit?
• Paralelogrami dhe drejtkëndëshi janë katërkëndësh. Drejtkëndëshi është një rast i veçantë i paralelogrameve.
• Sipërfaqja e cilësdo mund të llogaritet duke përdorur formulën bazë ×lartësi.
• Duke marrë parasysh diagonalet;
– Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën dhe presin paralelogramin për të formuar dy trekëndësha kongruentë.
– Diagonalet e drejtkëndëshit janë të barabarta në gjatësi dhe përgjysmojnë njëra-tjetrën; seksionet e dyfishta janë të barabarta në gjatësi. Diagonalet e presin drejtkëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë kongruentë.
• Duke marrë parasysh këndet e brendshme;
– Këndet e brendshme të kundërta të paralelogramit janë të barabarta në madhësi. Dy kënde të brendshme ngjitur janë plotësuese
– Të katër këndet e brendshme të drejtkëndëshit janë kënde të drejta.
• Duke marrë parasysh anët;
– Në një paralelogram, shuma e katrorëve të brinjëve është e barabartë me shumën e katrorëve të diagonales (ligji paralelogram)
– Në drejtkëndësha, shuma e katrorëve të dy brinjëve ngjitur është e barabartë me katrorin e diagonales në skajet. (Rregulli i Pitagorës)
