Parallelogram vs Trapezoid
Parallelogrami dhe trapezi (ose trapezi) janë dy katërkëndësha konveks. Edhe pse këto janë katërkëndësha, gjeometria e trapezit ndryshon dukshëm nga paralelogramet.
Parallelogram
Parallelogrami mund të përkufizohet si figura gjeometrike me katër anë, me brinjë të kundërta paralele me njëra-tjetrën. Më saktë është një katërkëndësh me dy palë brinjë paralele. Kjo natyrë paralele u jep shumë karakteristika gjeometrike paralelogrameve.
Një katërkëndësh është një paralelogram nëse gjenden karakteristikat e mëposhtme gjeometrike.
• Dy palë brinjë të kundërta janë të barabarta në gjatësi. (AB=DC, AD=BC)
• Dy palë kënde të kundërta janë të barabarta në madhësi. ([latex]D\kapelë{A}B=B\kapel{C}D, A\kapel{D}C=A\kapel{B}C[/latex])
• Nëse këndet ngjitur janë plotësues [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Një palë brinjë, të cilat janë kundër njëra-tjetrës, janë paralele dhe të barabarta në gjatësi. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën (AO=OC, BO=OD)
• Çdo diagonale e ndan katërkëndëshin në dy trekëndësha kongruentë. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Më tej, shuma e katrorëve të brinjëve është e barabartë me shumën e katrorëve të diagonaleve. Ky nganjëherë referohet si ligji i paralelogramit dhe ka aplikime të përhapura në fizikë dhe inxhinieri. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Secila nga karakteristikat e mësipërme mund të përdoret si veti, pasi të konstatohet se katërkëndëshi është një paralelogram.
Sipërfaqja e paralelogramit mund të llogaritet me prodhimin e gjatësisë së njërës anë dhe lartësisë në anën e kundërt. Prandaj, zona e paralelogramit mund të deklarohet si
Sipërfaqja e paralelogramit=baza × lartësia=AB×h
Sipërfaqja e paralelogramit është e pavarur nga forma e paralelogramit individual. Ai varet vetëm nga gjatësia e bazës dhe lartësia pingule.
Nëse brinjët e një paralelogrami mund të përfaqësohen me dy vektorë, sipërfaqja mund të merret nga madhësia e produktit vektorial (produkti i kryqëzuar) i dy vektorëve ngjitur.
Nëse anët AB dhe AD përfaqësohen nga vektorët ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) dhe ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respektivisht, sipërfaqja e paralelogrami jepet nga [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ku α është këndi midis [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] dhe [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Në vijim janë disa veti të avancuara të paralelogramit;
• Sipërfaqja e një paralelogrami është dyfishi i sipërfaqes së një trekëndëshi të krijuar nga ndonjë prej diagonaleve të tij.
• Sipërfaqja e paralelogramit ndahet në gjysmë me çdo drejtëz që kalon nga mesi.
• Çdo transformim afinal jo i degjeneruar merr një paralelogram në një paralelogram tjetër
• Një paralelogram ka simetri rrotulluese të rendit 2
• Shuma e distancave nga çdo pikë e brendshme e një paralelogrami në anët është e pavarur nga vendndodhja e pikës
Trapez
Trapezoid (ose Trapezium në anglisht britanike) është një katërkëndësh konveks ku të paktën dy brinjë janë paralele dhe të pabarabarta në gjatësi. Anët paralele të trapezit njihen si baza dhe dy anët e tjera quhen këmbë.
Në vijim janë karakteristikat kryesore të trapezoideve;
• Nëse këndet ngjitur nuk janë në të njëjtën bazë të trapezit, ato janë kënde plotësuese. dmth ato shtohen deri në 180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• Të dy diagonalet e një trapeziu kryqëzohen në të njëjtin raport (raporti ndërmjet seksionit të diagonaleve është i barabartë).
• Nëse a dhe b janë baza dhe c, d janë këmbë, gjatësitë e diagonaleve jepen me
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
dhe
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Sipërfaqja e trapezit mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme
Sipërfaqja e trapezit=[latex]\frac{a+b}{2}\herë h[/latex]
Cili është ndryshimi midis paralelogramit dhe trapezit (Trapezium)?
• Si paralelogrami ashtu edhe trapezi janë katërkëndësha konveks.
• Në një paralelogram, të dy palët e anëve të kundërta janë paralele, ndërsa, në një trapez, vetëm një çift është paralel.
• Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën (raporti 1:1) ndërsa diagonalet e trapezit priten me një raport konstant midis seksioneve.
• Sipërfaqja e paralelogramit varet nga lartësia dhe baza, ndërsa sipërfaqja e trapezit varet nga lartësia dhe segmenti i mesit.
• Dy trekëndëshat e formuar nga një diagonale në një paralelogram janë gjithmonë kongruentë ndërsa trekëndëshat e trapezit mund të jenë kongruentë ose jo.
