Parallelogram vs Katërkëndësh
Katërkëndëshat dhe paralelogramet janë shumëkëndësha që gjenden në Gjeometrinë Euklidiane. Paralelogrami është një rast i veçantë i katërkëndëshit. Katërkëndëshat mund të jenë ose të rrafshët (2D) ose 3 dimensionale ndërsa paralelogramet janë gjithmonë të rrafshët.
Katërkëndësh
Katërkëndëshi është një shumëkëndësh me katër brinjë. Ka katër kulme, dhe shuma e këndeve të brendshme është 3600 (2π rad). Katërkëndëshat klasifikohen në kategori të vetëkryqëzuara dhe katërkëndëshe të thjeshta. Katërkëndëshat vetë-ndërprerës kanë dy ose më shumë brinjë që kryqëzohen me njëra-tjetrën, dhe figura gjeometrike më të vogla (të tilla si trekëndëshat formohen brenda katërkëndëshit).
Katërkëndëshat e thjeshtë ndahen gjithashtu në katërkëndësha konveks dhe konkavë. Katërkëndëshat konkavë kanë brinjë ngjitur që formojnë kënde reflekse brenda figurës. Katërkëndëshat e thjeshtë që nuk kanë kënde reflekse nga brenda janë katërkëndësha konveks. Katërkëndëshat konveks mund të kenë gjithmonë teselacione.
Një pjesë kryesore e gjeometrisë së katërkëndëshave në nivelet fillestare ka të bëjë me katërkëndëshat konveks. Disa katërkëndësha janë shumë të njohur për ne që nga koha e shkollave fillore. Më poshtë është një diagram që tregon katërkëndësha të ndryshëm konveks.
Parallelogram
Parallelogrami mund të përkufizohet si figura gjeometrike me katër anë, me brinjë të kundërta paralele me njëra-tjetrën. Më saktë është një katërkëndësh me dy palë brinjë paralele. Kjo natyrë paralele u jep shumë karakteristika gjeometrike paralelogrameve.
Një katërkëndësh është një paralelogram nëse gjenden karakteristikat e mëposhtme gjeometrike.
• Dy palë brinjë të kundërta janë të barabarta në gjatësi. (AB=DC, AD=BC)
• Dy palë kënde të kundërta janë të barabarta në madhësi. ([latex]D\kapelë{A}B=B\kapel{C}D, A\kapel{D}C=A\kapel{B}C[/latex])
• Nëse këndet ngjitur janë plotësues [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Një palë brinjë, të cilat janë kundër njëra-tjetrës, janë paralele dhe të barabarta në gjatësi. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën (AO=OC, BO=OD)
• Çdo diagonale e ndan katërkëndëshin në dy trekëndësha kongruentë. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Më tej, shuma e katrorëve të brinjëve është e barabartë me shumën e katrorëve të diagonaleve. Ky nganjëherë referohet si ligji i paralelogramit dhe ka aplikime të përhapura në fizikë dhe inxhinieri. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Secila nga karakteristikat e mësipërme mund të përdoret si veti, pasi të konstatohet se katërkëndëshi është një paralelogram.
Sipërfaqja e paralelogramit mund të llogaritet me prodhimin e gjatësisë së njërës anë dhe lartësisë në anën e kundërt. Prandaj, zona e paralelogramit mund të deklarohet si
Sipërfaqja e paralelogramit=baza × lartësia=AB×h
Sipërfaqja e paralelogramit është e pavarur nga forma e paralelogramit individual. Ai varet vetëm nga gjatësia e bazës dhe lartësia pingule.
Nëse brinjët e një paralelogrami mund të përfaqësohen me dy vektorë, sipërfaqja mund të merret nga madhësia e produktit vektorial (produkti i kryqëzuar) i dy vektorëve ngjitur.
Nëse anët AB dhe AD përfaqësohen nga vektorët ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) dhe ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respektivisht, sipërfaqja e paralelogrami është dhënë nga [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], ku α është këndi midis [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] dhe [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Në vijim janë disa veti të avancuara të paralelogramit;
• Sipërfaqja e një paralelogrami është dyfishi i sipërfaqes së një trekëndëshi të krijuar nga ndonjë prej diagonaleve të tij.
• Sipërfaqja e paralelogramit ndahet në gjysmë me çdo drejtëz që kalon nga mesi.
• Çdo transformim afinal jo i degjeneruar merr një paralelogram në një paralelogram tjetër
• Një paralelogram ka simetri rrotulluese të rendit 2
• Shuma e distancave nga çdo pikë e brendshme e një paralelogrami në anët është e pavarur nga vendndodhja e pikës
Cili është ndryshimi midis paralelogramit dhe katërkëndëshit?
• Katërkëndëshat janë shumëkëndësha me katër brinjë (nganjëherë quhen tetragonë) ndërsa paralelogrami është një lloj i veçantë i katërkëndëshit.
• Katërkëndëshat mund t'i kenë anët e tyre në plane të ndryshme (në hapësirën 3d) ndërsa të gjitha anët e paralelogramit shtrihen në të njëjtin rrafsh (planar/ 2dimensionale).
• Këndet e brendshme të katërkëndëshit mund të marrin çdo vlerë (përfshirë këndet e refleksit) në mënyrë që të mblidhen deri në 3600. Paralelogramët mund të kenë vetëm kënde të mpirë si llojin maksimal të këndit.
• Katër brinjët e katërkëndëshit mund të jenë me gjatësi të ndryshme ndërsa anët e kundërta të paralelogramit janë gjithmonë paralele me njëra-tjetrën dhe të barabarta në gjatësi.
• Çdo diagonale e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë, ndërsa trekëndëshat e formuar nga diagonalja e një katërkëndëshi të përgjithshëm nuk janë domosdoshmërisht kongruentë.
