Laplace vs Transforms Fourier
Të dy transformimi Laplace dhe transformimi Furier janë transformime integrale, të cilat përdoren më së shpeshti si metoda matematikore për zgjidhjen e sistemeve fizike të modeluara matematikisht. Procesi është i thjeshtë. Një model matematikor kompleks shndërrohet në një model më të thjeshtë dhe të zgjidhshëm duke përdorur një transformim integral. Pasi të zgjidhet modeli më i thjeshtë, zbatohet transformimi integral invers, i cili do t'i jepte zgjidhje modelit origjinal.
Për shembull, meqenëse shumica e sistemeve fizike rezultojnë në ekuacione diferenciale, ato mund të shndërrohen në ekuacione algjebrike ose në një shkallë më të ulët ekuacione diferenciale lehtësisht të zgjidhshme duke përdorur një transformim integral. Atëherë zgjidhja e problemit do të bëhet më e lehtë.
Çfarë është transformimi Laplace?
Duke dhënë një funksion f (t) të një ndryshoreje reale t, transformimi i saj Laplace përcaktohet nga integrali [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (sa herë që ekziston), që është funksion i një ndryshoreje komplekse s. Zakonisht shënohet me L { f (t)}. Transformimi i Laplasit invers i një funksioni F (s) merret si funksioni f (t) në atë mënyrë që L { f (t)}=F (s), dhe në shënimin e zakonshëm matematikor shkruajmë, L-1{ F (s)}=f (t). Transformimi i anasjelltë mund të bëhet unik nëse funksionet null nuk lejohen. Dikush mund t'i identifikojë këta të dy si operatorë linearë të përcaktuar në hapësirën e funksionit, dhe është gjithashtu e lehtë të shihet se, L -1{ L { f (t)}}=f (t), nëse funksionet null nuk lejohen.
Tabela e mëposhtme liston transformimet Laplace të disa prej funksioneve më të zakonshme.
Çfarë është transformimi Furier?
Duke dhënë një funksion f (t) të një ndryshoreje reale t, transformimi i saj Laplace përcaktohet nga integrali [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (sa herë që ekziston), dhe zakonisht shënohet me F { f (t)}. Transformimi i anasjelltë F -1{ F (α)} jepet nga integrali [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Transformimi Furier është gjithashtu linear dhe mund të konsiderohet si një operator i përcaktuar në hapësirën e funksionit.
Duke përdorur transformimin Furier, funksioni origjinal mund të shkruhet si më poshtë me kusht që funksioni të ketë vetëm një numër të kufizuar ndërprerjesh dhe të jetë absolutisht i integrueshëm.
Cili është ndryshimi midis transformimeve Laplace dhe Fourier?
- Transformimi Furier i një funksioni f (t) përkufizohet si [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], ndërsa transformimi laplace i tij është përcaktuar të jetë [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Transformimi Furier përcaktohet vetëm për funksionet e përcaktuara për të gjithë numrat realë, ndërsa transformimi Laplace nuk kërkon që funksioni të përcaktohet në grupin e numrave realë negativë.
- Transformimi Furier është një rast i veçantë i transformimit Laplace. Mund të shihet se të dyja përkojnë për numra realë jonegativë. (d.m.th. marrim s në Laplace të jetë iα + β ku α dhe β janë reale të tilla që e β=1/ √(2ᴫ))
- Çdo funksion që ka një transformim Furier do të ketë një transformim Laplace, por jo anasjelltas.
