Diferenca midis shpërndarjes binomiale dhe normale

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2023-12-17 13:50

Shpërndarja Binomiale kundrejt Normale

Shpërndarjet e probabilitetit të variablave të rastësishëm luajnë një rol të rëndësishëm në fushën e statistikave. Nga këto shpërndarje probabiliteti, shpërndarja binomiale dhe shpërndarja normale janë dy nga ato që ndodhin më shpesh në jetën reale.

Çfarë është shpërndarja binomiale?

Shpërndarja binomiale është shpërndarja e probabilitetit që korrespondon me ndryshoren e rastësishme X, që është numri i sukseseve të një sekuence të fundme eksperimentesh të pavarura po/jo secila prej të cilave ka një probabilitet suksesi p. Nga përkufizimi i X-it, është evidente se ai është një ndryshore e rastësishme diskrete; prandaj, shpërndarja binomiale është gjithashtu diskrete.

Shpërndarja shënohet si X ~ B (n, p) ku n është numri i eksperimenteve dhe p është probabiliteti i suksesit. Sipas teorisë së probabilitetit, mund të nxjerrim përfundimin se B (n, p) ndjek funksionin e masës së probabilitetit [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Nga ky ekuacion, mund të nxirret më tej se vlera e pritur e X, E(X)=np dhe varianca e X, V(X)=np (1- p).

Për shembull, merrni parasysh një eksperiment të rastësishëm të hedhjes së një monedhe 3 herë. Përcaktoni suksesin si marrja e H, dështimi si marrja e T dhe ndryshorja e rastësishme X si numri i sukseseve në eksperiment. Pastaj X ~ B (3, 0.5) dhe funksioni i masës së probabilitetit të X dhënë nga [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Prandaj, probabiliteti për të marrë të paktën 2 H është P(X ≥ 2)=P (X=2 ose X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Çfarë është shpërndarja normale?

Shpërndarja normale është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit e përcaktuar nga funksioni i densitetit të probabilitetit, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametrat [latex] \mu dhe \\sigma [/latex] tregojnë mesataren dhe devijimin standard të popullatës së interesit. Kur [latex] \mu=0 dhe \\sigma=1 [/latex] shpërndarja quhet shpërndarje normale standarde.

Kjo shpërndarje quhet normale pasi shumica e dukurive natyrore ndjekin shpërndarjen normale. Për shembull, IQ e popullatës njerëzore shpërndahet normalisht. Siç shihet nga grafiku, është unimodal, simetrik në lidhje me mesataren dhe në formë zile. Mesatarja, mënyra dhe mesatarja përkojnë. Zona nën kurbë korrespondon me pjesën e popullsisë, duke përmbushur një kusht të caktuar.

Pjeset e popullsisë në intervalin [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] janë afërsisht 68,2%, 95,6% dhe 99,8% përkatësisht.

Cili është ndryshimi midis shpërndarjeve binomiale dhe normale?

• Shpërndarja binomiale është një shpërndarje diskrete probabiliteti ndërsa shpërndarja normale është e vazhdueshme.
• Funksioni i masës së probabilitetit të shpërndarjes binomiale është [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], ndërsa funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes normale është [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Shpërndarja binomiale përafrohet me shpërndarjen normale në kushte të caktuara, por jo anasjelltas.