Integrimi vs Diferencimi
Integrimi dhe diferencimi janë dy koncepte themelore në llogaritje, të cilat studiojnë ndryshimin. Llogaritja ka një shumëllojshmëri të gjerë aplikimesh në shumë fusha si shkenca, ekonomia ose financa, inxhinieria etj.
Diferencim
Diferencimi është procedura algjebrike e llogaritjes së derivateve. Derivat i një funksioni është pjerrësia ose gradienti i kurbës (grafikut) në çdo pikë të caktuar. Gradienti i një kurbë në çdo pikë të caktuar është gradienti i tangjentës së tërhequr në atë kurbë në pikën e caktuar. Për kthesat jolineare, gradienti i kurbës mund të ndryshojë në pika të ndryshme përgjatë boshtit. Prandaj, është e vështirë të llogaritet gradienti ose pjerrësia në çdo pikë. Procesi i diferencimit është i dobishëm në llogaritjen e gradientit të kurbës në çdo pikë.
Një përkufizim tjetër për derivatin është, "ndryshimi i një vetie në lidhje me një ndryshim njësie të një vetie tjetër."
Le të jetë f(x) një funksion i një ndryshoreje të pavarur x. Nëse në ndryshoren e pavarur x shkaktohet një ndryshim i vogël (∆x), në funksionin f(x) shkaktohet ndryshimi përkatës ∆f(x); atëherë raporti ∆f(x)/∆x është masë e shpejtësisë së ndryshimit të f(x), në lidhje me x. Vlera kufi e këtij raporti, meqë ∆x tenton në zero, lim∆x→0(f(x)/∆x) quhet derivati i parë i funksionit f(x), në lidhje me x; me fjalë të tjera, ndryshimi i menjëhershëm i f(x) në një pikë të dhënë x.
Integrimi
Integrimi është procesi i llogaritjes së integralit të caktuar ose integralit të pacaktuar. Për një funksion real f(x) dhe një interval të mbyllur [a, b] në vijën reale, integrali i caktuar, a∫b f(x), përcaktohet si zona midis grafikut të funksionit, boshtit horizontal dhe dy vijave vertikale në pikat fundore të një intervali. Kur nuk jepet një interval specifik, ai njihet si integral i pacaktuar. Një integral i caktuar mund të llogaritet duke përdorur anti-derivativë.
Cili është ndryshimi midis Integrimit dhe Diferencimit?
Ndryshimi midis integrimit dhe diferencimit është një lloj ndryshimi midis "katrores" dhe "marrjes së rrënjës katrore". Nëse e vendosim në katror një numër pozitiv dhe më pas marrim rrënjën katrore të rezultatit, vlera e rrënjës katrore pozitive do të jetë numri që keni vendosur në katror. Në mënyrë të ngjashme, nëse aplikoni integrimin në rezultatin që keni marrë duke diferencuar një funksion të vazhdueshëm f(x), ai do të çojë përsëri në funksionin origjinal dhe anasjelltas.
Për shembull, le të jetë F(x) integrali i funksionit f(x)=x, prandaj, F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, ku c është një konstante arbitrare. Kur diferencojmë F(x) në lidhje me x marrim, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, prandaj, derivati i F(x) është i barabartë me f(x).
Përmbledhje
– Diferencimi llogarit pjerrësinë e një kurbe, ndërsa integrimi llogarit sipërfaqen nën kurbë.
– Integrimi është procesi i kundërt i diferencimit dhe anasjelltas.
