Hyperbola vs Ellipse
Kur një kon pritet në kënde të ndryshme, kthesa të ndryshme shënohen nga skaji i konit. Këto kthesa shpesh quhen seksione konike. Më saktësisht, një seksion konik është një kurbë e përftuar duke kryqëzuar një sipërfaqe konike rrethore të djathtë me një sipërfaqe të rrafshët. Në kënde të ndryshme të kryqëzimit, jepen seksione të ndryshme konike.
Si hiperbola dhe elipsi janë seksione konike dhe dallimet e tyre krahasohen lehtësisht në këtë kontekst.
Më shumë rreth Ellipse
Kur kryqëzimi i sipërfaqes konike dhe sipërfaqes së rrafshët prodhon një kurbë të mbyllur, ajo njihet si një elips. Ka një ekscentricitet midis zeros dhe një (0<e<1). Mund të përkufizohet gjithashtu si vendndodhja e grupit të pikave në një plan të tillë që shuma e distancave në pikën nga dy pika fikse të mbetet konstante. Këto dy pika fikse njihen si 'foci'. (Mos harroni; në klasat elementare të matematikës, elipset vizatohen duke përdorur një varg të lidhur me dy kunja të fiksuara, ose një lak dhe dy kunja.)
Segmenti i linjës që kalon nëpër vatra njihet si boshti kryesor, dhe boshti pingul me boshtin kryesor dhe që kalon nëpër qendrën e elipsës njihet si boshti i vogël. Diametrat përgjatë çdo boshti njihen përkatësisht si diametri tërthor dhe diametri i konjuguar. Gjysma e boshtit të madh njihet si boshti gjysmë i madh dhe gjysma e boshtit të vogël njihet si boshti gjysmë i vogël.
Çdo pikë F1 dhe F2 njihen si vatrat e elipsit dhe gjatësitë F1 + PF2 =2a, ku P është një pikë arbitrare në elips. Ekscentriciteti e përkufizohet si raporti ndërmjet distancës nga një fokus në pikën arbitrare (PF 2) dhe distancës pingule me pikën arbitrare nga direktriksi (PD). Është gjithashtu e barabartë me distancën midis dy vatrave dhe boshtit gjysmë të madh: e=PF/PD=f/a
Ekuacioni i përgjithshëm i elipsës, kur boshti gjysmë i madh dhe boshti gjysmë i vogël përputhen me boshtet Karteziane, jepet si më poshtë.
x2/a2 + y2/b2=1
Gjeometria e elipsës ka shumë aplikime, veçanërisht në fizikë. Orbitat e planetëve në sistemin diellor janë eliptike me diellin si një fokus. Reflektorët për antenat dhe pajisjet akustike janë bërë në formë eliptike për të përfituar nga fakti se çdo emetim nga një fokus do të konvergojë në fokusin tjetër.
Më shumë rreth hiperbolës
Hiperbola është gjithashtu një seksion konik, por është i hapur. Termi hiperbolë i referohet dy kthesave të shkëputura të paraqitura në figurë. Në vend që të mbyllen si një elips, krahët ose degët e hiperbolës vazhdojnë deri në pafundësi.
Pikat ku dy degët kanë distancën më të shkurtër ndërmjet tyre njihen si kulme. Linja që kalon nëpër kulme konsiderohet si boshti kryesor ose boshti tërthor, dhe është një nga boshtet kryesore të hiperbolës. Dy vatrat e parabolës shtrihen gjithashtu në boshtin kryesor. Mesi i vijës ndërmjet dy kulmeve është qendra, dhe gjatësia e segmentit të vijës është boshti gjysmë i madh. Përgjysmuesi pingul i boshtit gjysmë të madh është boshti tjetër kryesor dhe dy kthesat e hiperbolës janë simetrike rreth këtij boshti. Ekscentriciteti i parabolës është më i madh se një; e > 1.
Nëse boshtet kryesore përkojnë me boshtet karteziane, ekuacioni i përgjithshëm i hiperbolës është i formës:
x2/a2 – y2/b2=1,
ku a është boshti gjysmë i madh dhe b është distanca nga qendra në secilin fokus.
Hiperbolat me skajet e hapura përballë boshtit x njihen si hiperbolat lindje-perëndim. Hiperbola të ngjashme mund të merren edhe në boshtin y. Këto njihen si hiperbolat e boshtit y. Ekuacioni për hiperbola të tilla merr formën
y2/a2 – x2/b2=1
Cili është ndryshimi midis Hiperbolës dhe Ellipsë?
• Të dyja elipset dhe hiperbola janë seksione konike, por elipsa është një kurbë e mbyllur ndërsa hiperbola përbëhet nga dy kthesa të hapura.
• Prandaj, elipsa ka perimetër të fundëm, por hiperbola ka një gjatësi të pafundme.
• Të dyja janë simetrike rreth boshtit të tyre të madh dhe të vogël, por pozicioni i direktriksit është i ndryshëm në secilin rast. Në elips, ajo është e shtrirë jashtë boshtit gjysmë të madh, ndërsa, në hiperbolë, shtrihet në boshtin gjysmë të madh.
• Ekscentricitetet e dy seksioneve konike janë të ndryshme.
0 <eElipse < 1
eHiperbola > 0
• Ekuacioni i përgjithshëm i dy kurbave duket i njëjtë, por ato janë të ndryshme.
• Përgjysmues pingul i boshtit të madh e pret lakoren në elips, por jo në hiperbolë.
(Burimi i imazheve: Wikipedia)
