Integrale të përcaktuara kundër të pacaktuara
Njehsimi është një degë e rëndësishme e matematikës dhe diferencimi luan një rol kritik në llogaritjen. Procesi i kundërt i diferencimit njihet si integrim, dhe anasjelltas njihet si integral, ose thënë thjesht, anasjellta e diferencimit jep një integral. Në bazë të rezultateve që prodhojnë integralet ndahen në dy klasa; integrale të caktuar dhe të pacaktuar.
Më shumë rreth Integraleve të Pacaktuar
Integrali i pacaktuar është më shumë një formë e përgjithshme integrimi dhe mund të interpretohet si anti-derivativ i funksionit të konsideruar. Supozoni se diferencimi i F jep f, dhe integrimi i f jep integralin. Shpesh shkruhet si F(x)=∫ƒ(x)dx ose F=∫ƒ dx ku të dyja F dhe ƒ janë funksione të x, dhe F është i diferencueshëm. Në formën e mësipërme, ai quhet një integral Reimann dhe funksioni që rezulton shoqëron një konstante arbitrare. Një integral i pacaktuar shpesh prodhon një familje funksionesh; prandaj, integrali është i pacaktuar.
Integralet dhe procesi i integrimit janë në thelb të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale. Megjithatë, ndryshe nga diferencimi, integrimi nuk ndjek gjithmonë një rutinë të qartë dhe standarde; ndonjëherë, zgjidhja nuk mund të shprehet në mënyrë eksplicite në termat e funksionit elementar. Në atë rast, zgjidhja analitike shpesh jepet në formën e një integrali të pacaktuar.
Më shumë rreth Integraleve të përcaktuara
Integralet e përcaktuara janë homologët shumë të vlerësuar të integraleve të pacaktuar ku procesi i integrimit prodhon në të vërtetë një numër të fundëm. Grafikisht mund të përkufizohet si zona e kufizuar nga kurba e funksionit ƒ brenda një intervali të caktuar. Sa herë që integrimi kryhet brenda një intervali të caktuar të ndryshores së pavarur, integrimi prodhon një vlerë të caktuar e cila shpesh shkruhet si a∫bƒ(x) dx ose a∫b ƒdx.
Integralet e pacaktuara dhe integralet e caktuar janë të ndërlidhura përmes teoremës së parë themelore të njehsimit, dhe kjo lejon që integrali i caktuar të llogaritet duke përdorur integralet e pacaktuara. Teorema thotë a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) ku të dy F dhe ƒ janë funksione të x, dhe F është i diferencueshëm në intervalin (a, b). Duke marrë parasysh intervalin, a dhe b njihen respektivisht si kufiri i poshtëm dhe kufiri i sipërm.
Në vend që të ndalet vetëm me funksione reale, integrimi mund të zgjerohet në funksione komplekse dhe ato integrale quhen integrale konturore, ku ƒ është një funksion i ndryshores komplekse.
Cili është ndryshimi midis Integraleve të Përcaktuar dhe të Pacaktuar?
Integralet e pacaktuara përfaqësojnë anti-derivatin e një funksioni, dhe shpesh, një familje funksionesh sesa një zgjidhje të caktuar. Në integrale të caktuara, integrimi jep një numër të fundëm.
Integralet e pacaktuar shoqërojnë një ndryshore arbitrare (prandaj edhe familja e funksioneve) dhe integralet e përcaktuara nuk kanë një konstante arbitrare, por një kufi të sipërm dhe një kufi të poshtëm integrimi.
Integrali i pacaktuar zakonisht i jep një zgjidhje të përgjithshme ekuacionit diferencial.
