Funksioni diskret kundrejt funksionit të vazhdueshëm
Funksionet janë një nga klasat më të rëndësishme të objekteve matematikore, të cilat përdoren gjerësisht pothuajse në të gjitha nënfushat e matematikës. Siç sugjerojnë emrat e tyre, të dy funksionet diskrete dhe funksionet e vazhdueshme janë dy lloje të veçanta funksionesh.
Një funksion është një lidhje midis dy grupeve të përcaktuara në atë mënyrë që për çdo element në grupin e parë, vlera që i korrespondon atij në grupin e dytë është unike. Le të jetë f një funksion i përcaktuar nga bashkësia A në bashkësinë B. Pastaj për çdo x ϵ A, simboli f (x) tregon vlerën unike në bashkësinë B që i përgjigjet x. Quhet imazhi i x nën f. Prandaj, një relacion f nga A në B është një funksion, nëse dhe vetëm nëse për, çdo xϵ A dhe y ϵ A; nëse x=y atëherë f (x)=f (y). Bashkësia A quhet domeni i funksionit f, dhe është bashkësia në të cilën është përcaktuar funksioni.
Për shembull, merrni parasysh relacionin f nga R në R të përcaktuar nga f (x)=x + 2 për çdo xϵ A. Ky është një funksion domeni i të cilit është R, pasi për çdo numër real x dhe y, x=y nënkupton f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Por lidhja g nga N në N e përcaktuar nga g (x)=a, ku 'a' është një faktor kryesor i x nuk është një funksion si g (6)=3, si dhe g (6)=2.
Çfarë është një funksion diskret?
Një funksion diskret është një funksion domeni i të cilit është më së shumti i numërueshëm. Thjesht, kjo do të thotë se është e mundur të bëhet një listë që përfshin të gjithë elementët e domenit.
Çdo grup i fundëm është më së shumti i numërueshëm. Bashkësia e numrave natyrorë dhe bashkësia e numrave racionalë janë shembuj për grupe të pafundme më së shumti të numërueshme. Bashkësia e numrave realë dhe bashkësia e numrave irracionalë nuk janë më së shumti të numërueshme. Të dy grupet janë të panumërueshme. Do të thotë se është e pamundur të bësh një listë që përfshin të gjithë elementët e atyre grupeve.
Një nga funksionet më të zakonshme diskrete është funksioni faktorial. f:N U{0}→N e përcaktuar në mënyrë rekursive nga f (n)=n f (n-1) për çdo n ≥ 1 dhe f (0)=1 quhet funksion faktorial. Vini re se domeni i tij N U{0} është më së shumti i numërueshëm.
Çfarë është një funksion i vazhdueshëm?
Le të jetë f një funksion i tillë që për çdo k në domenin e f, f (x)→ f (k) si x → k. Atëherë f është një funksion i vazhdueshëm. Kjo do të thotë se është e mundur të bëhet f (x) në mënyrë arbitrare afër f (k) duke e bërë x mjaftueshëm afër k për çdo k në domenin e f.
Shqyrtoni funksionin f (x)=x + 2 në R. Mund të shihet se si x → k, x + 2 → k + 2 që është f (x)→ f (k). Prandaj, f është një funksion i vazhdueshëm. Tani, merrni parasysh g në numra realë pozitivë g (x)=1 nëse x > 0 dhe g (x)=0 nëse x=0. Atëherë, ky funksion nuk është një funksion i vazhdueshëm pasi kufiri i g (x) nuk ekziston (dhe për rrjedhojë nuk është i barabartë me g (0)) si x → 0.
Cili është ndryshimi midis funksionit diskret dhe atij të vazhdueshëm?
• Një funksion diskret është një funksion domeni i të cilit është më së shumti i numërueshëm, por nuk duhet të jetë rasti në funksionet e vazhdueshme.
• Të gjithë funksionet e vazhdueshme ƒ kanë vetinë që ƒ(x)→ƒ(k) si x → k për çdo x dhe për çdo k në domenin e ƒ, por nuk është kështu në disa funksione diskrete..
